Κατι από κύκλο Euler (Αρχιμήδης)

[Cristoforos S.]

ΑΒΓ οξυγώνιο τρίγωνο και ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ τα ύψη με τομή αυτών το Η.
Έστω ακόμη ΑΙ και ΑΘ η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος της γωνίας Α.
Αν Μ, Ν τα μέσα των ΒΓ και ΑΗ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι
α) Η ΜΝ είναι κάθετη στην ΕΖ.
β) Αν η ΜΝ τέμνει τις ΑΙ, ΑΘ στα Κ, Λ τότε ΚΛ = ΑΗ.

Ευχαριστώ!

[nickthegreek]

Kάνω attach το σχήμα...

Snap_2011.01.18_14h04m11s_003.png (80.64 KiB) Προβλήθηκε 1001 φορές

[nickthegreek]

Κατ'αρχήν συγγνώμη για το μεγάλο σχήμα,απλά δε ξέρω τι να κάνω για να το διορθώσω...
Παρακαλώ όποιος μπορεί να ανεβάσει το σχήμα σε πιο λογικές διαστάσεις.

Στο πρώτο ερώτημα:

Με τους συμβολισμούς του σχήματος,είναι γνωστό ότι άρα εγγράψιμο με διάμετρο. Αφού όμως μέσο ,έπεται ότι το N είναι το κέντρο του κύκλου που περνάει από το Α,Ε,Ζ,Η. Άρα ως ακτίνες του κύκλου.
Άρα το Ν ανήκει στη μεσοκάθετο του ΖΕ.Αρκεί να δείξουμε ότι και το Μ ανήκει στη μεσοκάθετο του ΖΕ.

To τετράπλευρο ΖΕΓΒ είναι εγγράψιμο με διάμετρο τη ΒΓ,άρα το σημείο Μ ως μέσο της διαμέτρου ΒΓ θα είναι το κέντρο του κύκλου,δηλαδή ΜΕ=ΜΖ .Άρα η ευθεία ΝΜ είναι μεσοκάθετος της ΖΕ, άρα ΝΜ κάθετος στη ΖΕ.
Το ζητούμενο εδείχθη!!!

Για το δεύτερο θα δω λίγο αργότερα...

Φιλικά,
Νίκος

[Cristoforos S.]

Ευχαριστώ πολύ Νίκο για το χρόνο σου!

[KDORTSI]

1. Από θεώρημα Nagel είναι:

Επίσης το τετράπλευρο ΑΟΜΝ είναι παραλληλόγραμμο. Άρα
ΜΝ//ΟΑ και από την (1) προκύπτει:

(H MN είναι ακόμα και μεσοκάθετη στο τμήμα ΖΕ γιατί ΜΕ=ΜΖ=ΒΓ/2)

2. Είναι

Άρα η ΑΙ διχοτόμος και της γωνίας ΔΑΟ και από την παραλληλία
της ΟΑ και ΜΝ είναι:

Δηλαδή το τρίγωνο ΑΝΚ είναι ισοσκελές.
Τέλος επειδή το τρίγωνο ΛΑΚ είναι ορθογώνιο στο Α η ΑΝ διάμεσος.
Συνεπώς: