Εύρεση ελάχιστης τιμής - Γεωμετρική Ανισότητα

Γ. ΑΠΟΣΤΟΛΟΠΟΥΛΟΣ · #1

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Κ,Λ,Μ επί των πλευρών ΒΓ, ΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα, τέτοια ώστε οι ευθείες ΑΚ, ΒΛ, ΓΜ να συντρέχουν στο σημείο Ρ. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης

$A=\displaystyle\frac{PA}{PK}+\frac{PB}{P\Lambda}+\frac{P\Gamma}{PM}.$

lefteris mastoris · #2

Γεια σας!!!Επιτελους βρηκα λιγο χρονο για να συμμετεχω και εγω στο forum μας..

Νομιζω οτι εχω μια λυση για την ομορφη αυτη ασκηση!!!Νομιζω πως ολη η ασκηση τελειωνει αν καποιος παρατηρησει πως $\sum\frac{PK}{AK}=1$ (αποδεικνυεται ευκολα με εμβαδα πχ $\frac{PK}{AK}=\frac{(PBC)}{(ABC)}$ αλλα και οτι $A=\sum\frac{AK}{PK} -3 \geq 9-3=6$ απο την ανισοτητα bcs.....Ελπιζω να μην εκανα λαθος!!

#3

S.E.Louridas · #4

Μια Open Question:

Σε ποιά θέση του Ρ επιτυγχάνεται η τιμή 6,ώστε το 6 να μήν είναι απλά κάτω φράγμα;

S.E.Louridas

#5

S.E.Louridas έγραψε:Μια Open Question:

Σε ποιά θέση του Ρ επιτυγχάνεται η τιμή 6,ώστε το 6 να μήν είναι απλά κάτω φράγμα;

S.E.Louridas

Στο βαρύκεντρο. Μάλλον ο Σωτήρης θέλει να τονίσει κάτι βαθύτερο. Όταν μας ζητούν ελάχιστο ή μέγιστο σε ανισότητες πρέπει να προσδιορίζουμε εκείνη τη θέση για την οποία λαμβάνεται αυτή η τιμή που βρήκαμε ως υποψήφια για ελάχιστο ή μέγιστο. Διαφορετικά παραμένει απλά ένα κάτω ή άνω φράγμα!

Αλέξανδρος

#6

Από την βιβλιογραφία είναι γνωστές οι ανισότητες :

$A = \displaystyle \frac{AP}{PK} + \frac{BP}{PL} + \frac{CP}{PM} \geq 6$ και $B = \displaystyle \frac{AP}{PK}\cdot \frac{BP}{PL}\cdot \frac{CP}{PM} \geq 8$ με τις ισότητες να αληθεύουν όταν $P\equiv G,$ όπου

είναι το βαρύκεντρο του δοσμένου τριγώνου $\triangle ABC.$

Ισχύει όμως πάντοτε ( για κάθε σημείο

στο εσωτερικό του $\triangle ABC$ ) η ισότητα $B - A = 2\ \ (1)$

Αυτή η ισότητα μου είναι γνωστή από τα μαθητικά χρόνια, αλλά τελικά όπως διαβάζουμε στο τεύχος 4, σελίδα 55, του εξαιρετικού περιοδικού ''Το φ'' που εκδίδει ο Β. Βισκαδουράκης, οφείλεται στον Leonhard Euler.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Για την περίπτωση όπου το σημείο

βρίσκεται στο εξωτερικό μέρος του $\triangle ABC,$ υπάρχουν διάφορες παραλλαγές στα πρόσημα των παραγόντων στο πρώτο μέλος της ισότητας, με το δεύτερο μέλος πάντοτε ίσον με 2.

( Όταν για παράδειγμα, το

βρίσκεται στο εωτερικό μέρος της κατά κορυφή γωνίας της $\angle A$ ( ή $\angle B$ ή $\angle C$ ), τότε ισχύει A - B = 2

)

S.E.Louridas · #7

ΑΚΡΙΒΩΣ Αλέξανδρε, ακριβώς και για να το κατανοήσουμε ας επιχειρήσουμε να μιλήσουμε,
γιά το ελάχιστο του αθροίσματος των τετραγώνων των αποστάσεων τυχόντος σημείου στο εσωτερικό δοθέντος κυρτού τατραπλεύρου (και γενικώτερα ν-πλεύρου με ν>3) από τις πλευρές του.

S.E.Louridas

mathematica.gr

Εύρεση ελάχιστης τιμής - Γεωμετρική Ανισότητα

Εύρεση ελάχιστης τιμής - Γεωμετρική Ανισότητα

Re: Εύρεση ελάχιστης τιμής - Γεωμετρική Ανισότητα

Re: Εύρεση ελάχιστης τιμής - Γεωμετρική Ανισότητα

Re: Εύρεση ελάχιστης τιμής - Γεωμετρική Ανισότητα

Re: Εύρεση ελάχιστης τιμής - Γεωμετρική Ανισότητα

Re: Εύρεση ελάχιστης τιμής - Γεωμετρική Ανισότητα

Re: Εύρεση ελάχιστης τιμής - Γεωμετρική Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση