Βρείτε τη γωνία χ (54)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία χ (54)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Νοέμ 01, 2010 7:35 am

Δίνεται σημείο Δ στην πλευρά ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ με {\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma  = {9^ \circ }. Αν {\rm B}\widehat {\rm A}\Delta  = {27^ \circ }, {\rm A}\Delta  = 2 και {\rm B}\Gamma  = 5 + \sqrt 5  + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } βρείτε τη γωνία x.
x54.jpg
x54.jpg (26.46 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε τη γωνία χ (54)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Νοέμ 01, 2010 3:09 pm

Μιχάλη, να υποθέσω ότι μέσω εμού αφιερώνεις την άσκηση σ' αυτούς που υποτιμούν τη δύναμη των εργαλείων της τριγωνομετρίας και την διώχνουν εντελώς από το Ελληνικό Λύκειο;

Όπως και νά 'χει, νά 'σαι καλά!

Φαντάζομαι από μένα περιμένεις την τριγωνομετρική προσέγγιση: "Μετρήστε ότι μετριέται".
01-11-2010 Geometry.png
01-11-2010 Geometry.png (55.41 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές
Φέρνουμε ΑΚ κάθετη στη ΒΓ.

Στο ΑΔΚ είναι \displaystyle 
A{\rm K} = 2 \cdot \eta \mu 36^\circ  = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{2},\;\;{\rm K}\Delta  = 2 \cdot \sigma \upsilon \nu 36^\circ  = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}

Από Ν. Ημιτόνων στο ΑΒΔ είναι:
\displaystyle 
\begin{array}{l} 
 \frac{{{\rm B}\Delta }}{{\eta \mu 27^\circ }} = \frac{2}{{\eta \mu 9^\circ }} \Rightarrow \; \\  
\\ 
  \Rightarrow {\rm B}\Delta  = 2\frac{{\eta \mu 27^\circ }}{{\eta \mu 9^\circ }} = 2\frac{{3\eta \mu 9^\circ  - 4\eta \mu ^3 9^\circ }}{{\eta \mu 9^\circ }} = 6 - 8\eta \mu ^2 9^\circ  = 6 - 4\left( {1 - 2\sigma \upsilon \nu 18^\circ } \right) =  \\  
\\  
 = 2 + 4\sigma \upsilon \nu 18^\circ  = 2 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 }  \\  
 \end{array}


Άρα \displaystyle 
{\rm K}\Gamma  = 5 + \sqrt 5  + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 }  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 5 }}{2} - 2 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 }  = \frac{{5 + \sqrt 5 }}{2}.

Από Πυθ. Θεώρημα στο ΑΚΓ είναι:
\displaystyle 
{\rm A}\Gamma ^2  = {\rm A}{\rm K}^2  + {\rm K}\Gamma ^2  = \frac{{10 - 2\sqrt 5 }}{4} + \frac{{30 + 10\sqrt 5 }}{4} = 10 + 2\sqrt 5 \; \Rightarrow {\rm A}\Gamma  = \sqrt {10 + 2\sqrt 5 }


Τότε στο ΑΚΔ: \displaystyle 
\eta \mu x = \frac{{{\rm A}{\rm K}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{\sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{{2\sqrt {10 + 2\sqrt 5 } }} = \frac{{10 - 2\sqrt 5 }}{{2 \cdot \sqrt {80} }} = \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{4 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{4}, οπότε x = 18°.


Γιώργος Ρίζος

Ο Λόγος στους Γεωμέτρες :P

Ανδρέας Πούλος έγραψε: Και στο κάτω - κάτω, όταν οι "γεωμέτρες" ζούσαν σε παλάτια, οι "αλγεβριστές" κατοικούσαν στα δέντρα. ...
εδώ

Ανδρέα, ... οι τριγωνομέτρες (sic) που ζούσαν; Ανεβοκατέβαιναν από δέντρο σε παλάτι; :lol:


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (54)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Νοέμ 01, 2010 3:43 pm

Γιώργο, πρώτα απ’ όλα :clap2: για την τριγωνομετρική λύση.
Η αφιέρωση, πέρα από την εκτίμηση, είναι και συνθηματικό για τα <<χρυσά τρίγωνα>> που περιλαμβάνει η γεωμετρική απόδειξη…

Υ.Γ. Ξέχασα να συμπεριλάβω και τον κ. Κώστα Δόρτσιο.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (54)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Νοέμ 03, 2010 3:55 pm

Καλησπέρα.
Να δώσω και μια γεωμετρική λύση:


Με κέντρο Δ και ακτίνα ΔΑ=2 κατασκευάζω κύκλο, ο οποίος τέμνει την ΒΓ στα σημεία Ε και Ζ.

Η {\rm A}\widehat \Delta {\rm Z} = {36^ \circ } σαν εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΔΒ.

Το τρίγωνο ΔΑΖ είναι χρυσό ισοσκελές τρίγωνο, οπότε {\rm A}{\rm Z} = \displaystyle\frac{{2 \cdot \left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{2} = \sqrt 5  - 1.

Το τρίγωνο ΔΕΑ είναι ισοσκελές με {\rm A}\widehat \Delta {\rm E} = {180^ \circ } - {36^ \circ } = {144^ \circ }, οπότε \Delta \widehat {\rm A}{\rm E} = \Delta \widehat {\rm E}{\rm A} = {18^ \circ }.

Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΕΑΖ και από την εξωτερική γωνία \Delta \widehat {\rm E}{\rm A} του τριγώνου ΑΕΒ προκύπτει ότι: {\rm B}{\rm E} = {\rm E}{\rm A} = \sqrt {10 + 2\sqrt 5 }.

Από τη σχέση {\rm B}{\rm Z} + {\rm Z}\Gamma  = {\rm B}\Gamma προκύπτει ότι: {\rm Z}\Gamma  = \sqrt 5  + 1.

Με κέντρο Ζ και ακτίνα ΖΔ=2 κατασκευάζω κύκλο, ο οποίος τέμνει την προέκταση της ΑΖ στο Κ.

Εφόσον ισχύει \displaystyle\frac{{\Gamma {\rm Z}}}{{\Delta {\rm Z}}} = \displaystyle\frac{{{\rm Z}{\rm K}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} ή \displaystyle\frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} = \displaystyle\frac{2}{{\sqrt 5  - 1}} και {\rm A}\widehat {\rm Z}\Delta  = {\rm K}\widehat {\rm Z}\Gamma  = {72^ \circ } σαν κατακορυφήν, τα τρίγωνα ΓΖΚ και ΔΖΑ θα είναι όμοια, οπότε ΓΖΚ χρυσό ισοσκελές τρίγωνο.

Αφού {\rm K}\Gamma  = {\rm K}{\rm A} = \sqrt 5  + 1 και \Gamma \widehat {\rm K}{\rm A} = {72^ \circ } θα ισχύει στο ισοσκελές ΚΑΓ ότι: x + {36^ \circ } = {54^ \circ } \Rightarrow x = {18^ \circ }.
x54sol.jpg
x54sol.jpg (37.21 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές
Συνημμένα
x54th.jpg
x54th.jpg (69.65 KiB) Προβλήθηκε 557 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε τη γωνία χ (54)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 03, 2010 10:15 pm

Μιχάλη, πολύ όμορφο :clap:
Ομολογώ ότι αναζητούσα γεωμετρική λύση, αλλά σε λάθος κατεύθυνση...

Έψαχνα Χρυσό Ορθογώνιο τρίγωνο (και δεν το έβρισκα...).

Όταν ήμουν Β΄ Λυκείου, διδασκόμασταν τριγωνομετρία από το βιβλίο του Πανάκη και οι τριγωνομετρικοί αριθμοί, 18°, 36°, 54°, 72° ήταν στην ύλη μας, αλλά δεν θυμάμαι (πάει και λίγος καιρός από τότε...) να συνδυάζαμε τους αριθμούς αυτούς με αναλογίες, χρυσά τρίγωνα και εγγεγραμμένα πολύγωνα, τα οποία βεβαίως διδασκόμασταν στη Γεωμετρία (βιβλίο Παπανικολάου).

Γιώργος Ρίζος


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Βρείτε τη γωνία χ (54)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Νοέμ 03, 2010 10:31 pm

Νομίζω πως η άσκηση βγαίνει και με την κατασκευή κανονικού 20-γωνου, δουλεύοντας κάπως ανάποδα ("μαντεύουμε" την τιμή της X=... 18 ;) , και μετά "τακτοποιούμε" τα πράγματα) .. δεν την προχώρησα όμως ..


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1383
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (54)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Νοέμ 05, 2010 1:04 am

Οι "γεωμέτρες" ζούσαν στην Σαλαμίνα
και οι "τριγωνομέτρες" ζούσαν στην Κέρκυρα.
Νησιά και τα δύο.
Οι "άλλοι", μάλλον ήρθαν από τα βουνά.
Αλλά, κάτι δεν πάει καλά με τη θεωρία μου. Ο Κώστας ο Δόρτσιος είναι από τα βουνά κι όμως είναι "γεωμετρικός τύπος".
Τι να πω, δεν ξέρω. Εκτός αν είναι αντιπαράδειγμα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: gbaloglou και 1 επισκέπτης