Γεωμετρία - Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο.

#1

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο με $AB\parallel CD$ και έστω τα σημεία $P\equiv AC\cap BD$ και $Q\equiv AD\cap BC.$ Με διαμέτρους τις βάσεις του γράφουμε τους κύκλους $(O_{1}),$ $(O_{2})$ αντιστοίχως, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία έστω $E,\ A,\ D,$ προς το αυτό μέρος της $O_{1}O_{2}$ Αποδείξτε ότι $\angle LEM = \angle NEQ$ και $PE\perp EQ,$ όπου $L\equiv O_{1}O_{2}\cap EF$ και $M\equiv (O_{1})\cap O_{1}O_{2}$ και $N\equiv (O_{2})\cap O_{1}O_{2}$ μεταξύ των $O_{1},$ και μεταξύ των $O_{2},$

$\bullet$ Καλή επιτυχία στα νιάτα του

που διαγωνίζονται αύριο στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ και καλή αντάμωση στη ΡΟΖΑΛΙΑ.

Κώστας Βήττας.

#2

Με μερική χρήση ομοιοθεσίας και αντιστροφής

: Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο.jpg (50.25 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

(α) σχήμα 1
Οι κύκλοι $\displaystyle{{O_1}{\text{ \& }}{O_2}}$ είναι ομοιόθετοι με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο

(υπάρχει ομοιοθεσία των παράλληλων διαμέτρων $\displaystyle{AB{\text{ \& }}CD}$ ), άρα $\displaystyle{NE\parallel ME'}$ . Τότε $\displaystyle{\hat \psi = \hat \varphi }$ (λόγω παραλλήλων) και $\displaystyle{\hat \varphi = \hat \mu }$ (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο) και $\displaystyle{\hat \mu = \hat \omega }$ (λόγω συμμετρίας). Άρα $\displaystyle{\hat \omega = \hat \psi }$ .

(β) σχήμα 2
Θεωρούμε την «μεγάλη» βάση $\displaystyle{AB = 2{\beta _1}}$ και την "μικρή" $\displaystyle{CD = 2{\beta _2}}$ . Τότε με απλές διαδικασίες (ομοιότητες τριγώνων) προκύπτει ότι $\displaystyle{{y_1} = \frac{{\upsilon {\beta _1}}}{{{\beta _1} + {\beta _2}}}{\text{ \& }}{y_2} = \frac{{\upsilon {\beta _2}}}{{{\beta _1} + {\beta _2}}}}$ και $\displaystyle{\eta = \frac{{\upsilon {\beta _1}}}{{{\beta _1} - {\beta _2}}}{\text{ \& }}\theta = \frac{{\upsilon {\beta _2}}}{{{\beta _1} - {\beta _2}}}}$ . Επίσης $\displaystyle{{O_1}{L^2} = \beta _1^2 - E{L^2}{\text{ \& }}{O_2}{L^2} = \beta _2^2 - E{L^2}}$ , δηλαδή $\displaystyle{{O_1}{L^2} - {O_2}{L^2} = \beta _1^2 - \beta _2^2}$ , οπότε $\displaystyle{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = \beta _1^2 - \beta _2^2 \Rightarrow \boxed{{x_1} - {x_2} = \frac{{\beta _1^2 - \beta _2^2}}{\upsilon }}}$ , που συνδυασμό με την σχέση $\displaystyle{{x_1} + {x_2} = \upsilon }$ προκύπτει $\displaystyle{{x_1} = \frac{{{\upsilon ^2} + \beta _1^2 - \beta _2^2}}{{2\upsilon }}{\text{ \& }}{x_2} = \frac{{{\upsilon ^2} + \beta _2^2 - \beta _1^2}}{{2\upsilon }}}$ .

Οι κύκλοι $\displaystyle{{O_1}{\text{ \& }}{O_2}}$ είναι ομοιόθετοι με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο

, άρα από το

άγεται κοινή εφαπτόμενη των $\displaystyle{{O_1}{\text{ \& }}{O_2}}$ . Τότε υπάρχει αντιστροφή με πόλο το σημείο

και λόγο $\lambda$ ώστε οι $\displaystyle{{O_1}{\text{ \& }}{O_2}}$ να αλληλοαντιστρέφονται. Επειδή το σημείο

μένει αμετάβλητο θα έχουμε
$\displaystyle{\lambda = Q{E^2} = ON \cdot ON' = \left( {\theta - {\beta _2}} \right)\left( {\eta + {\beta _1}} \right) = \left( {\frac{{\upsilon {\beta _2}}}{{{\beta _1} - {\beta _2}}} - {\beta _2}} \right)\left( {\frac{{\upsilon {\beta _1}}}{{{\beta _1} - {\beta _2}}} + {\beta _1}} \right) = .. = {\beta _1}{\beta _2}\left( {\frac{{{\upsilon ^2}}}{{{{\left( {{\beta _1} - {\beta _2}} \right)}^2}}} - 1} \right)}$

Όμως $\displaystyle{QL \cdot QP = \left( {\theta + {x_2}} \right)\left( {\eta - {y_1}} \right) = \left( {\frac{{\upsilon {\beta _2}}}{{{\beta _1} - {\beta _2}}} + \frac{{{\upsilon ^2} + \beta _2^2 - \beta _1^2}}{{2\upsilon }}} \right)\left( {\frac{{\upsilon {\beta _1}}}{{{\beta _1} - {\beta _2}}} - \frac{{\upsilon {\beta _1}}}{{{\beta _1} + {\beta _2}}}} \right) = {\beta _1}{\beta _2}\frac{{2\upsilon }}{{\beta _1^2 - \beta _2^2}}\left( {\frac{{\upsilon {\beta _2}}}{{{\beta _1} - {\beta _2}}} + \frac{{{\upsilon ^2} + \beta _2^2 - \beta _1^2}}{{2\upsilon }}} \right) = }$

$\displaystyle{ = .. = {\beta _1}{\beta _2}\left( {\frac{{{\upsilon ^2}}}{{{{\left( {{\beta _1} - {\beta _2}} \right)}^2}}} - 1} \right)}$ , δηλαδή $\displaystyle{Q{E^2} = QL \cdot QP \Rightarrow \frac{{QE}}{{QP}} = \frac{{QL}}{{QE}}}$ , που σημαίνει ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{QEP{\text{ \& }}QLE}$ είναι όμοια και συνεπώς $\displaystyle{PE \bot QE}$ .

Δεν κατάφερα να βρώ κομψότερη απόδειξη

Άλλες όμορφες παρατηρήσεις:

: Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο-2.jpg (29.21 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

1) Ισχύουν οι ισότητες γωνιών του σχήματος.
2) Επειδή έχουμε τα εξής αντίστροφα ζεύγη $\displaystyle{A \leftrightarrow A'{\text{, }}P \leftrightarrow L{\text{, }}C \leftrightarrow C'}$ κι’ επειδή η ευθεία

αντιστρέφεται σε κύκλο, έπεται ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{QA'LC'}$ είναι εγγράψιμο.
3) Λόγω αντιστροφής τα τετράπλευρα $\displaystyle{PLDD'{\text{, }}PLA'A{\text{ \& }}AA'CC'}$ είναι εγγράψιμμα (και τα αντίστοιχα συμμετρικά τους)

#3

Καλησπέρα Σεραφείμ και σ' ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου.

Σεραφείμ έγραψε:(α) σχήμα 1
Οι κύκλοι $\displaystyle{{O_1}{\text{ \& }}{O_2}}$ είναι ομοιόθετοι με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο (υπάρχει ομοιοθεσία των παράλληλων διαμέτρων $\displaystyle{AB{\text{ \& }}CD}$ ), άρα $\displaystyle{NE\parallel ME'}$ . Τότε $\displaystyle{\hat \psi = \hat \varphi }$ (λόγω παραλλήλων) και $\displaystyle{\hat \varphi = \hat \mu }$ (εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο) και $\displaystyle{\hat \mu = \hat \omega }$ (λόγω συμμετρίας). Άρα $\displaystyle{\hat \omega = \hat \psi }$ .

Η ομοιοθεσία των κύκλων αποδεικνύεται εύκολα, από την παραλληλία $AB\parallel CD.$

Πράγματι, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, ισχύει $\displaystyle\frac{PO_{1}}{PO_{2}} = \frac{O_{1}A}{O_{2}C} = \frac{O_{1}A}{O_{2}D} =\frac{QO_{1}}{QO_{2}}$ ,(1)

Από

συμπεραίνεται ότι τα $O_{1},\ P,\ O_{2},\ Q,$ συνιστούν αρμονική σημειοσειρά, με εσωτερικό και εξωτερικό λόγο ίσο με τον λόγο των ακτίνων των κύκλων $(O_{1}),\ (O_{2}).$

Τα σημεία $P,\ Q$ δηλαδή, ταυτίζονται με το εσωτερικό και το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας των δύο κύκλων, αντιστοίχως.

$\bullet$ Μία εναλλακτική απόδειξη του (α) ζητούμενου, βασισμένη στην ομοιοθεσία των κύκλων $(O_{1}),\ (O_{2},$ είναι η εξής :

Από ( λόγω της ομοιοθεσίας ) $NY\parallel ME,$ όπου $N\equiv (O_{2})\cap QE$ $\Longrightarrow$ $\angle QYN = \angle QEM = \angle MEN + \angle NEQ$ ,(2)

Από εγγράψιμο τετράπλευρο EFNY

$\Longrightarrow$ $\angle QYN = \angle NFE = \angle NEF = \angle LEM + \angle MEN$ ,(3)

Από $(2),\ (3)$ $\Longrightarrow$ $\angle LEM = \angle NEQ$ και το πρώτο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Για το δεύτερο ζητούμενο η απόδειξη απλουστεύεται, με βάση επίσης την ομοιοθεσία των κύκλων $(O_{1}),\ (O_{2})$ και την αρμονικότητα των σημείων $O_{1},\ P,\ O_{2},\ Q.$

Το αφήνω για λίγο και θα επανέλθω αργότερα, αν δεν απαντηθεί από κάποιον άλλον.

Nick Rapanos · #4

Για το πρώτο ερώτημα παρατηρούμε ότι
(1) Οι κύκλοι εύκολα αποδεικνύεται όπως έδειξε ο κ. Βήττας ότι είναι ομοιόθετοι.
(2) Επίσης εύκολα δείχνουμε ότι τα τόξα EM, MF

είναι ίσα.
Τώρα αν θεωρήσουμε $E'=QE\cap (O_1)$ προφανώς το σημείο αυτό είναι το ομοιόθετο του

υπό την ομοιοθεσία $\mathcal{H}(Q,\frac{R}{r})$ και επίσης το

είναι το ομοιόθετο του

υπό την ίδια ομοιοθεσία.
Συνεπώς $\angle{QEN}=\angle{QE'M}=\widehat{EM}$ ενώ $\angle{LEM}=\widehat{MF}$ και η απόδειξη ολοκληρώνεται αφού η ισότητα των γωνιών προκύπτει από την ισότητα των τόξων.γ

Για το δεύτερο ερώτημα παρατηρούμε ότι τα σημεία Q,O_2,P,O_1

είναι αρμονικά συζυγή από θεωρία πλήρους τετραπλεύρου στο CPDQ

. Επίσης γνωρίζουμε από την ομοιοθεσία ότι $\displaystyle \frac{QO_1}{QO_2}=\frac{R}{r}\Longrightarrow\frac{PO_1}{PO_2}=\frac{R}{r}=\frac{EO_1}{EO_2}$ που σημαίνει ότι η

είναι εσωτερική και η

η εξωτερική διχοτόμος στο EO_1O_2

και άρα τέμνονται κάθετα.

Γεωμετρία - Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο.

Γεωμετρία - Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο.

Re: Γεωμετρία - Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο.

Re: Γεωμετρία - Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο.

Re: Γεωμετρία - Μία ιδιότητα στο ισοσκελές τραπέζιο.

Μέλη σε σύνδεση