ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

#61

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ ΤΕΤΡΑΔΑΣ ΟΜΟΚΥΚΛΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ
(Επέκταση γνωστής Κατασκευής και σε κύκλο).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας προτείνω για λύση το παρακάτω απλό αλλά πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα, το οποίο αποτελεί επέκταση γνωστού Προβλήματος, από ευθεία και σε κύκλο.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
(Επέκταση γνωστής Κατασκευής και σε κύκλο).

11(30). Σε κύκλο $\left(O, \varrho \right)$ ή $\left(\kappa \right)$ , δίνονται τρία σημεία $A, \Gamma , B$ . Στον ίδιο κύκλο να ορισθεί σημείο $\Delta$ , το οποίο με το $\Gamma$ να χωρίζουν αρμονικά το ζεύγος των σημείων .

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 11(30) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#62

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 120, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(30).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#63

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για λύση το παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
11(27). Στον περιγεγραμμέο κύκλο $\left(O, \rho \right)$ ή $\left(\kappa \right)$ , τριγώνου $AB\Gamma$ , δίνεται σημείο $\Delta$ . Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο κύκλο, υπάρχει σημείο

τέτοιο ώστε, η κορυφή

και οι τομές $K\equiv BE\bigcap{\Gamma \Delta }$ , $\Lambda \equiv B\Delta \bigcap{\Gamma E}$ , να είναι σημεία συνευθειακά.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 11(27) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#64

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για λύση το παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύω Πρόβλημα.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
11(27). Στον περιγεγραμμέο κύκλο $\left(O, \rho \right)$ ή $\left(\kappa \right)$ , τριγώνου $AB\Gamma$ , δίνεται σημείο $\Delta$ . Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο κύκλο, υπάρχει σημείο τέτοιο ώστε, η κορυφή και οι τομές $K\equiv BE\bigcap{\Gamma \Delta }$ , $\Lambda \equiv B\Delta \bigcap{\Gamma E}$ , να είναι σημεία συνευθειακά.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 11(27) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 122, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(27).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#65

ΝΙΚΟΣ έγραψε:11(27). Στον περιγεγραμμέο κύκλο $\left(O, \rho \right)$ ή $\left(\kappa \right)$ , τριγώνου $AB\Gamma$ , δίνεται σημείο $\Delta$ . Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο κύκλο, υπάρχει σημείο τέτοιο ώστε, η κορυφή και οι τομές $K\equiv BE\bigcap{\Gamma \Delta }$ , $\Lambda \equiv B\Delta \bigcap{\Gamma E}$ , να είναι σημεία συνευθειακά.

: Κατασκευή 11(27); f=112_t=20919(b).PNG (17.95 KiB) Προβλήθηκε 2344 φορές

Η εφαπτομένη του περίκυκλου (O)

του $\vartriangle ABC$ στο σημείο

τέμνει την ευθεία

στο σημείο έστω

και η ευθεία

, τέμνει τον κύκλο (O)

στο σημείο έστω

που είναι το ζητούμενο.

Πράγματι, η ευθεία KL,

όπου $K\equiv BE\cap CD$ και $L\equiv BD\cap CE,$ είναι η πολική ευθεία του σημείου

ως προς τον κύκλο (O)

και περνάει από το σημείο

ως το σημείο επαφής της εφαπτομένης του (O)

από το σημείο

Κώστας Βήττας.

#66

Κώστα καλημέρα.
Σε ευχαριστώ πολύ για την συμμέτοχή σου, τη συμβολή σου στη νέα μου προσπάθεια, αλλά και για την παραπάνω όμορφη λύση σου στο Πρόβλημά μου 11(27).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#67

ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ !!!

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από μελέτη διαπίστωσα με έκπληξη ότι η, πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη, ικανή και αναγκαία συνθήκη των ισογώνιων τριγώνου, αληθεύει και σε ευθεία, αλλά και σε κύκλο.

Συγκεκριμένα:
Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, που αληθεύει για τις ισογώνιες τριγώνου [Γεωμετρία Γ. Τσίντσιφα παράγραφος 11-12.1, ή Προτάσεις 1β(44) (ευθύ) και 6ι(60) (αντίστροφο) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], αληθεύει, με ανάλογο τρόπο (όχι με ισογώνιες προφανώς), σε ευθεία αλλά και σε κύκλο. Δηλαδή και όταν το τρίγωνο εκφυλισθεί σε ευθεία, αλλά και κυρίως, όταν οι κορυφές του τριγώνου και οι δύο τομές των ισογώνιων σε μια πλευρά του είναι σημεία ομοκυκλικά.
Αλλά πώς;

Προτείνω στους φίλους λάτρεις της Γεωμετρίας, να προβληματισθούν και να μας δώσουν τις δικές τους απαντήσεις στα παρακάτω:
Σε πρώτη φάση, να διατυπώσουν τις δύο παραπάνω ικανές και αναγκαίες συνθήκες, που προφανώς είναι και το σημαντικότερο.
Σε δεύτερη φάση, να προβούν στις αποδείξεις τους.

Δικές μου απαντήσεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#68

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ !!!

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από μελέτη διαπίστωσα με έκπληξη ότι η, πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη, ικανή και αναγκαία συνθήκη των ισογώνιων τριγώνου, αληθεύει και σε ευθεία, αλλά και σε κύκλο.

Συγκεκριμένα:
Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, που αληθεύει για τις ισογώνιες τριγώνου [Γεωμετρία Γ. Τσίντσιφα παράγραφος 11-12.1, ή Προτάσεις 1β(44) (ευθύ) και 6ι(60) (αντίστροφο) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], αληθεύει, με ανάλογο τρόπο (όχι με ισογώνιες προφανώς), σε ευθεία αλλά και σε κύκλο. Δηλαδή και όταν το τρίγωνο εκφυλισθεί σε ευθεία, αλλά και κυρίως, όταν οι κορυφές του τριγώνου και οι δύο τομές των ισογώνιων σε μια πλευρά του είναι σημεία ομοκυκλικά.
Αλλά πώς;

Προτείνω στους φίλους λάτρεις της Γεωμετρίας, να προβληματισθούν και να μας δώσουν τις δικές τους απαντήσεις στα παρακάτω:
Σε πρώτη φάση, να διατυπώσουν τις δύο παραπάνω ικανές και αναγκαίες συνθήκες, που προφανώς είναι και το σημαντικότερο.
Σε δεύτερη φάση, να προβούν στις αποδείξεις τους.

Δικές μου απαντήσεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΔΥΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΓΝΩΣΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να σας δώσω παρακάτω για απόδειξη, όπως σας έχω υποσχεθεί, τις δύο παρακάτω σημαντικές και πρωτοεμφανιζόμενες πιστεύω Προτάσεις, που αποτελούν δύο επεκτάσεις του γνωστού Θεωρήματος των ισογώνιων τριγώνου [Γεωμετρία Γ. Τσίντσιφα παράγραφος 11-12.1, ή Προτάσεις 1β(44) (ευθύ) και 6ι(60) (αντίστροφο) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], σε ευθεία και σε κύκλο.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Οι Προτάσεις αυτές, έχουν ως εξής:
11(35). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $A, \Gamma , \Delta , B$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων A, B

και $\Gamma , \Delta$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων E, E'

της ίδιας ευθείας [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(200)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{AE^{2}}{EB^{2}}$ = $\frac{A\Gamma }{\Gamma B}$ . $\frac{A\Delta }{\Delta B}$ .

11(25). Σε κύκλο $\left(O, \varrho \right)$ , $\left(\kappa \right)$ , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $B, \Gamma , E, \Delta$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων $B, \Gamma$ και $\Delta , E$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων A, Z

, του ίδιου κύκλου [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(44)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{BA^{2}}{A\Gamma ^{2}}$ = $\frac{B\Delta }{ \Delta\Gamma }$ . $\frac{BE}{E\Gamma }$ .

Σχόλιο.
Τις παραπάνω Προτάσεις, καταχώρησα στις παραγράφους 11(35) και 11(25) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#69

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ !!!

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από μελέτη διαπίστωσα με έκπληξη ότι η, πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη, ικανή και αναγκαία συνθήκη των ισογώνιων τριγώνου, αληθεύει και σε ευθεία, αλλά και σε κύκλο.

Συγκεκριμένα:
Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, που αληθεύει για τις ισογώνιες τριγώνου [Γεωμετρία Γ. Τσίντσιφα παράγραφος 11-12.1, ή Προτάσεις 1β(44) (ευθύ) και 6ι(60) (αντίστροφο) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], αληθεύει, με ανάλογο τρόπο (όχι με ισογώνιες προφανώς), σε ευθεία αλλά και σε κύκλο. Δηλαδή και όταν το τρίγωνο εκφυλισθεί σε ευθεία, αλλά και κυρίως, όταν οι κορυφές του τριγώνου και οι δύο τομές των ισογώνιων σε μια πλευρά του είναι σημεία ομοκυκλικά.
Αλλά πώς;

Προτείνω στους φίλους λάτρεις της Γεωμετρίας, να προβληματισθούν και να μας δώσουν τις δικές τους απαντήσεις στα παρακάτω:
Σε πρώτη φάση, να διατυπώσουν τις δύο παραπάνω ικανές και αναγκαίες συνθήκες, που προφανώς είναι και το σημαντικότερο.
Σε δεύτερη φάση, να προβούν στις αποδείξεις τους.

Δικές μου απαντήσεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΔΥΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΓΝΩΣΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να σας δώσω παρακάτω για απόδειξη, όπως σας έχω υποσχεθεί, τις δύο παρακάτω σημαντικές και πρωτοεμφανιζόμενες πιστεύω Προτάσεις, που αποτελούν δύο επεκτάσεις του γνωστού Θεωρήματος των ισογώνιων τριγώνου [Γεωμετρία Γ. Τσίντσιφα παράγραφος 11-12.1, ή Προτάσεις 1β(44) (ευθύ) και 6ι(60) (αντίστροφο) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], σε ευθεία και σε κύκλο.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Οι Προτάσεις αυτές, έχουν ως εξής:
11(35). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $A, \Gamma , \Delta , B$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων και $\Gamma , \Delta$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων της ίδιας ευθείας [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(200)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{AE^{2}}{EB^{2}}$ = $\frac{A\Gamma }{\Gamma B}$ . $\frac{A\Delta }{\Delta B}$ .

11(25). Σε κύκλο $\left(O, \varrho \right)$ , $\left(\kappa \right)$ , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $B, \Gamma , E, \Delta$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων $B, \Gamma$ και $\Delta , E$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων , του ίδιου κύκλου [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(44)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{BA^{2}}{A\Gamma ^{2}}$ = $\frac{B\Delta }{ \Delta\Gamma }$ . $\frac{BE}{E\Gamma }$ .

Σχόλιο.
Τις παραπάνω Προτάσεις, καταχώρησα στις παραγράφους 11(35) και 11(25) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το διευκρινιστικό μου σημείωμα, του παρακάτω συνημμένου μου 123, θα προσπαθήσω να κάνω περισσότερο κατανοητό, κυρίως για τους αδύναμους φίλους στη Γεωμετρία, το πώς από το Θεώρημα των ισογώνιων τριγώνου, όπως τούτο αναφέρεται στη βιβλιογραφία (σε απλουστευμένη διατύπωση), φθάνουμε αναλογικά στην παραπάνω Πρόταση 11(35) και από αυτή στην Πρόταση 11(25).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#70

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ !!!

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από μελέτη διαπίστωσα με έκπληξη ότι η, πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη, ικανή και αναγκαία συνθήκη των ισογώνιων τριγώνου, αληθεύει και σε ευθεία, αλλά και σε κύκλο.

Συγκεκριμένα:
Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, που αληθεύει για τις ισογώνιες τριγώνου [Γεωμετρία Γ. Τσίντσιφα παράγραφος 11-12.1, ή Προτάσεις 1β(44) (ευθύ) και 6ι(60) (αντίστροφο) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], αληθεύει, με ανάλογο τρόπο (όχι με ισογώνιες προφανώς), σε ευθεία αλλά και σε κύκλο. Δηλαδή και όταν το τρίγωνο εκφυλισθεί σε ευθεία, αλλά και κυρίως, όταν οι κορυφές του τριγώνου και οι δύο τομές των ισογώνιων σε μια πλευρά του είναι σημεία ομοκυκλικά.
Αλλά πώς;

Προτείνω στους φίλους λάτρεις της Γεωμετρίας, να προβληματισθούν και να μας δώσουν τις δικές τους απαντήσεις στα παρακάτω:
Σε πρώτη φάση, να διατυπώσουν τις δύο παραπάνω ικανές και αναγκαίες συνθήκες, που προφανώς είναι και το σημαντικότερο.
Σε δεύτερη φάση, να προβούν στις αποδείξεις τους.

Δικές μου απαντήσεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΔΥΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΓΝΩΣΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να σας δώσω παρακάτω για απόδειξη, όπως σας έχω υποσχεθεί, τις δύο παρακάτω σημαντικές και πρωτοεμφανιζόμενες πιστεύω Προτάσεις, που αποτελούν δύο επεκτάσεις του γνωστού Θεωρήματος των ισογώνιων τριγώνου [Γεωμετρία Γ. Τσίντσιφα παράγραφος 11-12.1, ή Προτάσεις 1β(44) (ευθύ) και 6ι(60) (αντίστροφο) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], σε ευθεία και σε κύκλο.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Οι Προτάσεις αυτές, έχουν ως εξής:
11(35). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $A, \Gamma , \Delta , B$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων και $\Gamma , \Delta$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων της ίδιας ευθείας [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(200)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{AE^{2}}{EB^{2}}$ = $\frac{A\Gamma }{\Gamma B}$ . $\frac{A\Delta }{\Delta B}$ .

11(25). Σε κύκλο $\left(O, \varrho \right)$ , $\left(\kappa \right)$ , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $B, \Gamma , E, \Delta$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων $B, \Gamma$ και $\Delta , E$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων , του ίδιου κύκλου [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(44)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{BA^{2}}{A\Gamma ^{2}}$ = $\frac{B\Delta }{ \Delta\Gamma }$ . $\frac{BE}{E\Gamma }$ .

Σχόλιο.
Τις παραπάνω Προτάσεις, καταχώρησα στις παραγράφους 11(35) και 11(25) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 124, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(35).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#71

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΟ !!!

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
μετά από μελέτη διαπίστωσα με έκπληξη ότι η, πολύ γνωστή και πολύ χρησιμοποιούμενη, ικανή και αναγκαία συνθήκη των ισογώνιων τριγώνου, αληθεύει και σε ευθεία, αλλά και σε κύκλο.

Συγκεκριμένα:
Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, που αληθεύει για τις ισογώνιες τριγώνου [Γεωμετρία Γ. Τσίντσιφα παράγραφος 11-12.1, ή Προτάσεις 1β(44) (ευθύ) και 6ι(60) (αντίστροφο) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], αληθεύει, με ανάλογο τρόπο (όχι με ισογώνιες προφανώς), σε ευθεία αλλά και σε κύκλο. Δηλαδή και όταν το τρίγωνο εκφυλισθεί σε ευθεία, αλλά και κυρίως, όταν οι κορυφές του τριγώνου και οι δύο τομές των ισογώνιων σε μια πλευρά του είναι σημεία ομοκυκλικά.
Αλλά πώς;

Προτείνω στους φίλους λάτρεις της Γεωμετρίας, να προβληματισθούν και να μας δώσουν τις δικές τους απαντήσεις στα παρακάτω:
Σε πρώτη φάση, να διατυπώσουν τις δύο παραπάνω ικανές και αναγκαίες συνθήκες, που προφανώς είναι και το σημαντικότερο.
Σε δεύτερη φάση, να προβούν στις αποδείξεις τους.

Δικές μου απαντήσεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΔΥΟ ΚΑΤΑΠΛΗΚΤΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΓΝΩΣΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να σας δώσω παρακάτω για απόδειξη, όπως σας έχω υποσχεθεί, τις δύο παρακάτω σημαντικές και πρωτοεμφανιζόμενες πιστεύω Προτάσεις, που αποτελούν δύο επεκτάσεις του γνωστού Θεωρήματος των ισογώνιων τριγώνου [Γεωμετρία Γ. Τσίντσιφα παράγραφος 11-12.1, ή Προτάσεις 1β(44) (ευθύ) και 6ι(60) (αντίστροφο) του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»], σε ευθεία και σε κύκλο.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δικές μου αποδείξεις, θα ακολουθήσουν μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Οι Προτάσεις αυτές, έχουν ως εξής:
11(35). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $A, \Gamma , \Delta , B$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων και $\Gamma , \Delta$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων της ίδιας ευθείας [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(200)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{AE^{2}}{EB^{2}}$ = $\frac{A\Gamma }{\Gamma B}$ . $\frac{A\Delta }{\Delta B}$ .

11(25). Σε κύκλο $\left(O, \varrho \right)$ , $\left(\kappa \right)$ , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $B, \Gamma , E, \Delta$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων $B, \Gamma$ και $\Delta , E$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων , του ίδιου κύκλου [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(44)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{BA^{2}}{A\Gamma ^{2}}$ = $\frac{B\Delta }{ \Delta\Gamma }$ . $\frac{BE}{E\Gamma }$ .

Σχόλιο.
Τις παραπάνω Προτάσεις, καταχώρησα στις παραγράφους 11(35) και 11(25) αντίστοιχα, τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 125, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(25).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#72

ΔΥΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΓΝΩΣΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να αναφερθώ στη συνέχεια, σε δύο σημαντικές επεκτάσεις που αναφέρονται στην ισχύ σε ευθεία και κύκλο, της Πρότασης 10ι(185), που αφορά τρίγωνο και την οποία έχω αναρτήσει παραπάνω με το 102 συνημμένο μου.
Παρακάτω, αναρτώ την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση 11(36), που αφορά επέκταση και σε ευθεία της Πρότασης 10ι(185), ενώ αργότερα θα αναρτήσω την πρόταση 11(37) με την επέκταση της Πρότασης 10ι(185) και για κύκλο.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(36). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $A, \Gamma , \Delta , B,$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων A, B

και $\Gamma , \Delta$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων E, E'

της ίδιας ευθείας [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(200)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{AE}{EB}$ . $\frac{B\Delta }{\Delta E}$ . $\frac{E\Gamma }{\Gamma A}$ =1.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(36) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#73

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΔΥΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΓΝΩΣΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να αναφερθώ στη συνέχεια, σε δύο σημαντικές επεκτάσεις που αναφέρονται στην ισχύ σε ευθεία και κύκλο, της Πρότασης 10ι(185), που αφορά τρίγωνο και την οποία έχω αναρτήσει παραπάνω με το 102 συνημμένο μου.
Παρακάτω, αναρτώ την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση 11(36), που αφορά επέκταση και σε ευθεία της Πρότασης 10ι(185), ενώ αργότερα θα αναρτήσω την πρόταση 11(37) με την επέκταση της Πρότασης 10ι(185) και για κύκλο.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(36). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $A, \Gamma , \Delta , B,$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων και $\Gamma , \Delta$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων της ίδιας ευθείας [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(200)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{AE}{EB}$ . $\frac{B\Delta }{\Delta E}$ . $\frac{E\Gamma }{\Gamma A}$ =1.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(36) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 126, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(36).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#74

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΔΥΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΓΝΩΣΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να αναφερθώ στη συνέχεια, σε δύο σημαντικές επεκτάσεις που αναφέρονται στην ισχύ σε ευθεία και κύκλο, της Πρότασης 10ι(185), που αφορά τρίγωνο και την οποία έχω αναρτήσει παραπάνω με το 102 συνημμένο μου.
Παρακάτω, αναρτώ την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση 11(36), που αφορά επέκταση και σε ευθεία της Πρότασης 10ι(185), ενώ αργότερα θα αναρτήσω την πρόταση 11(37) με την επέκταση της Πρότασης 10ι(185) και για κύκλο.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(36). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $A, \Gamma , \Delta , B,$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων και $\Gamma , \Delta$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων της ίδιας ευθείας [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(200)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{AE}{EB}$ . $\frac{\Gamma E}{EA}$ . $\frac{E\Gamma }{\Gamma A}$ =1.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(36) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ 10Ι(185) ΤΩΝ ΙΣΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
παρακάτω αναρτώ την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση 11(37), όπως παραπάνω έχω υποσχεθεί,που αφορά επέκταση και σε κύκλο της Πρότασης 10ι(185) η οποία αφορά τρίγωνο και την οποία έχω αναρτήσει παραπάνω με το 102 συνημμένο μου.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(37). Σε κύκλο $\left(O, \varrho \right)$ ή $\left(\kappa \right)$ , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $B, \Gamma , E, \Delta$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων $B, \Gamma$ και $\Delta , E$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων A, Z

, του ίδιου κύκλου [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(44)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{BA}{A\Gamma }$ . $\frac{\Gamma E}{EA}$ . $\frac{A\Delta }{\Delta B}$ =1.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(37) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#75

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΔΥΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΓΝΩΣΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ, ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να αναφερθώ στη συνέχεια, σε δύο σημαντικές επεκτάσεις που αναφέρονται στην ισχύ σε ευθεία και κύκλο, της Πρότασης 10ι(185), που αφορά τρίγωνο και την οποία έχω αναρτήσει παραπάνω με το 102 συνημμένο μου.
Παρακάτω, αναρτώ την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση 11(36), που αφορά επέκταση και σε ευθεία της Πρότασης 10ι(185), ενώ αργότερα θα αναρτήσω την πρόταση 11(37) με την επέκταση της Πρότασης 10ι(185) και για κύκλο.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(36). Σε ευθεία $\left(\varepsilon \right)$ δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $A, \Gamma , \Delta , B,$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων και $\Gamma , \Delta$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων της ίδιας ευθείας [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(200)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{AE}{EB}$ . $\frac{\Gamma E}{EA}$ . $\frac{E\Gamma }{\Gamma A}$ =1.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(36) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ 10Ι(185) ΤΩΝ ΙΣΟΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΣΕ ΚΥΚΛΟ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
παρακάτω αναρτώ την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση 11(37), όπως παραπάνω έχω υποσχεθεί,που αφορά επέκταση και σε κύκλο της Πρότασης 10ι(185) η οποία αφορά τρίγωνο και την οποία έχω αναρτήσει παραπάνω με το 102 συνημμένο μου.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(37). Σε κύκλο $\left(O, \varrho \right)$ ή $\left(\kappa \right)$ , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων $B, \Gamma , E, \Delta$ . Η ικανή και αναγκαία συνθήκη, για να χωρίζονται αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων $B, \Gamma$ και $\Delta , E$ , από ένα τρίτο ζεύγος σημείων , του ίδιου κύκλου [Τούτο μπορεί να συμβεί; Η απάντηση είναι θετική. Βλέπε την Κατασκευή 10ι(44)], είναι να αληθεύει η σχέση: $\frac{BA}{A\Gamma }$ . $\frac{\Gamma E}{EA}$ . $\frac{A\Delta }{\Delta B}$ =1.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(37) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 127, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(37).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#76

ΔΥΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
10ι(200) ΚΑΙ 11(1).
Κατασκευή αρμονικών ενελίξεων $\nu$ συνευθεακών σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να αναφερθώ στη συνέχεια, σε δύο σημαντικές επεκτάσεις που αναφέρονται στην κατασκευή αρμονικών ενελίξεων ν συνευθεακών σημείων οι οποίες αποτελούν γενικεύσεις των Κατασκευών 10ι(200) και 11(1) και τις οποίες έχω αναρτήσει εδώ με τα 107, 108 συνημμένα μου αντίστοιχα.
Παρακάτω, αναρτώ την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση 11(34), που αφορά γενίκευση της Κατασκευής 10ι(200), ενώ αργότερα θα αναρτήσω την Κατασκευή 11(38) με την γενίκευση της Κατασκευής 11(1).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
11(34). Σε ευθεία να τοποθετηθούν $\nu$ ζεύγη σημείων τα τμήματα των οποίων έχουν άκρα τα ζεύγη αυτά και που το πρώτο (ζεύγος) να βρίσκεται μέσα στο δεύτερο, το δεύτερο μέσα στο τρίτο κοκ, έτσι ώστε και τα $\nu$ ζεύγη να χωρίζονται αρμονικά, από ένα άλλο ζεύγος σημείων (Δηλαδή τα $\nu$ ζεύγη σημείων να βρίσκονται σε αρμονική ενέλιξη).

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 11(34) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#77

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΔΥΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ
10ι(200) ΚΑΙ 11(1).
Κατασκευή αρμονικών ενελίξεων $\nu$ συνευθεακών σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω την χαρά να αναφερθώ στη συνέχεια, σε δύο σημαντικές επεκτάσεις που αναφέρονται στην κατασκευή αρμονικών ενελίξεων ν συνευθεακών σημείων οι οποίες αποτελούν γενικεύσεις των Κατασκευών 10ι(200) και 11(1) και τις οποίες έχω αναρτήσει εδώ με τα 107, 108 συνημμένα μου αντίστοιχα.
Παρακάτω, αναρτώ την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση 11(34), που αφορά γενίκευση της Κατασκευής 10ι(200), ενώ αργότερα θα αναρτήσω την Κατασκευή 11(38) με την γενίκευση της Κατασκευής 11(1).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
11(34). Σε ευθεία να τοποθετηθούν $\nu$ ζεύγη σημείων τα τμήματα των οποίων έχουν άκρα τα ζεύγη αυτά και που το πρώτο (ζεύγος) να βρίσκεται μέσα στο δεύτερο, το δεύτερο μέσα στο τρίτο κοκ, έτσι ώστε και τα $\nu$ ζεύγη να χωρίζονται αρμονικά, από ένα άλλο ζεύγος σημείων (Δηλαδή τα $\nu$ ζεύγη σημείων να βρίσκονται σε αρμονική ενέλιξη).

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 11(34) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 128, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(34).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#78

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΕΝΕΛΙΞΗΣ $\nu$ ΖΕΥΓΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ
Επέκταση της Κατασκευής 11(34).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση, η οποία αποτελεί επέκταση της Κατασκευής 11(34) και αναφέρεται σε ιδιότητες αρμονικής ενέλιξης σημειοσειράς $\nu$ ζευγών σημείων.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(39). Σε ευθεία δίνονται $\nu$ ζεύγη σημείων τα οποία δεν χωρίζονται μεταξύ τους, αλλά το πρώτο (ζεύγος) βρίσκεται μέσα στο δεύτερο, το δεύτερο μέσα στο τρίτο κλπ, και τα οποία όμως χωρίζονται αρμονικά από ένα άλλο ζεύγος σημείων.
Να αποδειχθεί ότι τα $\nu$ παραπάνω ζεύγη σημείων βρίσκονται σε αρμονική ενέλιξη, της οποίας να δοθούν τα κύρια στοιχεία, και ότι οι $\nu$ κύκλοι με διαμέτρους τα $\nu$ τμήματα που έχουν άκρα τα παραπάνω $\nu$ ζεύγη σημείων, αποτελούν δέσμη κύκλων της οποίας να δοθούν τα βασικά στοιχεία.
Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(39) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#79

ΝΙΚΟΣ έγραψε:ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΕΝΕΛΙΞΗΣ $\nu$ ΖΕΥΓΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ
Επέκταση της Κατασκευής 11(34).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρόταση, η οποία αποτελεί επέκταση της Κατασκευής 11(34) και αναφέρεται σε ιδιότητες αρμονικής ενέλιξης σημειοσειράς $\nu$ ζευγών σημείων.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.
Η Πρόταση αυτή, έχει ως εξής:
11(39). Σε ευθεία δίνονται $\nu$ ζεύγη σημείων τα οποία δεν χωρίζονται μεταξύ τους, αλλά το πρώτο (ζεύγος) βρίσκεται μέσα στο δεύτερο, το δεύτερο μέσα στο τρίτο κλπ, και τα οποία όμως χωρίζονται αρμονικά από ένα άλλο ζεύγος σημείων.
Να αποδειχθεί ότι τα $\nu$ παραπάνω ζεύγη σημείων βρίσκονται σε αρμονική ενέλιξη, της οποίας να δοθούν τα κύρια στοιχεία, και ότι οι $\nu$ κύκλοι με διαμέτρους τα $\nu$ τμήματα που έχουν άκρα τα παραπάνω $\nu$ ζεύγη σημείων, αποτελούν δέσμη κύκλων της οποίας να δοθούν τα βασικά στοιχεία.
Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(39) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 129, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(39).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.

Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

#80

ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ 11(1) ΚΑΙ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ 11(34).
Κατασκευή Αρμονικής Ενέλιξης 2 $\nu$ Ζευγών Σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
σας δίνω για απόδειξη την παρακάτω πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Κατασκευή, η οποία αποτελεί Γενίκευση της Γεωμετρικής Κατασκευής 11(1) και Επέκταση της Κατασκευής 11(34), αναφέρεται δε σε Κατασκευή Αρμονικής Ενέλιξης Σημειοσειράς 2 $\nu$ Zευγών Σημείων.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή, έχει ως εξής:
11(38). Σε ευθεία να τοποθετηθούν δύο $\nu$ -άδες ζευγών σημείων, έτσι ώστε τα ζεύγη καθεμιάς $\nu$ -άδας να μη χωρίζονται μεταξύ τους, αλλά για τα ζεύγη των σημείων κάθε μιας $\nu$ -άδας, το πρώτο ζεύγος να βρίσκεται μέσα στο δεύτερο, το δεύτερο μέσα στο τρίτο, κοκ, και τα ζεύγη της μιας $\nu$ -άδας να βρίσκονται έξω από τα ζεύγη της άλλης και προς το ίδιο μέρος αυτής, ενώ τα ζεύγη των σημείων και των δύο $\nu$ -άδων να χωρίζονται αρμονικά από ένα άλλο ζεύγος σημείων.
Ακόμη, (αυτά να τοποθετηθούν έτσι ώστε) τα $\nu$ ζεύγη σημείων που αποτελούνται από ένα σημείο από κάθε μια από τις παραπάνω δύο $\nu$ -άδες, που δεν χωρίζονται μεταξύ τους, αλλά το πρώτο ζεύγος βρίσκεται μέσα στο δεύτερο, το δεύτερο μέσα στο τρίτο, κοκ, και έτσι ώστε όλα αυτά τα ζεύγη σημείων να χωρίζονται αρμονικά από ένα ακόμη ζεύγος σημείων.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 11(38) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Η ΠΡΟΣΦΑΤΗ "ΣΟΔΕΙΑ" ΜΟΥ.

Μέλη σε σύνδεση