Ισεμβαδικά τρίγωνα

#1

: ισεμβαδικά.png (47.91 KiB) Προβλήθηκε 433 φορές

Έστω $\displaystyle{ P }$ τυχαίο σημείο του επιπέδου τριγώνου $\displaystyle{ \vartriangle ABC }$ με $\displaystyle{ P }$ να μην ανήκει στις ευθείες $\displaystyle{ AB,BC,CA }$ και $\displaystyle{ H_a ,\;H_b ,\;H_c }$ είναι αντίστοιχα τα ορθόκεντρα των τριγώνων

$\displaystyle{ \vartriangle PCB,\;\vartriangle PAC,\;\vartriangle PAB }$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \left( {H_a H_b H_c } \right) = \left( {ABC} \right) }$ όπου $\displaystyle{ \left( {H_a H_b H_c } \right),\left( {ABC} \right) }$ παριστάνουν τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{ \vartriangle H_a H_b H_c ,\;\vartriangle ABC }$ αντίστοιχα.

Στάθης

Mikesar · #2

Καλησπέρα κύριε Στάθη.
Έστω $BH_{a}\cap AC \equiv T$ , $H_{a}H_{c}\cap AC \equiv S$ .
Είναι $BH_c\parallel CH_b\Rightarrow (BH_{b}H_{c})=(BH_{c}C)$ και όμοια από τις υπόλοιπες παραλληλίες $(BH_{a}H_{b})=(BAH_{a}), (H_{a}AS)=(CH_{c}S)$ . Xρησιμοποιώντας τα παραπάνω έχω:
$(H_{a}H_{b}H_{c})=(BH_{a}H_{b})+(BH_{b}H_{c})+(BH_{a}H_{c})= \\ (BAH_{a})+(BH_{c}C)+(BTSH_{c})+(H_{a}ST)= \\ (BAT)+(BTSH_{c})+(BH_{c}C)+(ATH_{a})+(H_{a}TS)= \\ (ABC)-(CH_{c}S)+(H_{a}AS)=(ABC)$

Ισεμβαδικά τρίγωνα

Ισεμβαδικά τρίγωνα

Re: Ισεμβαδικά τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση