- exer.jpg (22.08 KiB) Προβλήθηκε 1046 φορές
Καθετότητα
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Καθετότητα
Έστω τρίγωνο . Εξωτερικά του τριγώνου αυτού κατασκευάζουμε τα τρίγωνα και , ώστε , και . Τα τμήματα , τέμνονται στο σημείο . Έστω το περίκεντρο του . Να αποδειχτεί ότι .
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα
Βλέποντας για λίγο την ηλικία του συναδέλφου που είναι Μαθηματικός της β-βάθμιας εκπαίδευσης είπα μέσα μου ότι αποκλείεται να μην είναι εραστής της Γεωμετρίας και γενικότερα των Μαθηματικών και συνεπώς είναι ευχάριστη πρόκληση η ενασχόληση με θέμα που προτείνει.
Η ημέτερη διαπραγμάτευση στο ωραίο αυτό θέμα είναι η εξής:
Αν είναι το σημείο τομής των κύκλων σχετικά εύκολα προκύπτει και από την προφανή ομοιότητα των συγκεκριμένων ισοσκελών τριγώνων ότι
Επί της ουσίας θέλουμε:
όταν τα μέσα των χορδών αντίστοιχα και οι προβολές των κέντρων των κύκλων στις αντίστοιχα.
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι
που ισχύει από το εγγράψιμμο
Στη σχέση καταλήξαμε από την εφαρμογή του 2ου θεωρήματος της διαμέσου. Στην εγγραψιμμότητα καταλήξαμε από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων .
Η ημέτερη διαπραγμάτευση στο ωραίο αυτό θέμα είναι η εξής:
Αν είναι το σημείο τομής των κύκλων σχετικά εύκολα προκύπτει και από την προφανή ομοιότητα των συγκεκριμένων ισοσκελών τριγώνων ότι
Επί της ουσίας θέλουμε:
όταν τα μέσα των χορδών αντίστοιχα και οι προβολές των κέντρων των κύκλων στις αντίστοιχα.
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι
που ισχύει από το εγγράψιμμο
Στη σχέση καταλήξαμε από την εφαρμογή του 2ου θεωρήματος της διαμέσου. Στην εγγραψιμμότητα καταλήξαμε από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων .
- Συνημμένα
-
- zzzzzz.ggb.png (44.49 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Δημοσιεύσεις: 233
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Καθετότητα
Αρκεί να αποδείξουμε ότι , οπότε το θα είναι παραλληλόγραμμο και το οποίο αποδεικνύει το ζητούμενο, αφού η κάθετος της ως διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο .
Τα τρίγωνα και είναι ίσα ( και , η γωνία του τριγώνου ), οπότε
, δηλ. το εγγράψιμο
και , δηλ. το επίσης εγγράψιμο.
Από τα εγγράψιμα αυτά τετράπλευρα προκύπτουν τα εξής :
και όμοια , οπότε και άρα (επίκεντρη της παραπληρωματικής της ).
Είναι γνωστό ότι τα ομόρροπα ίσα σχήματα προκύπτουν το ένα από το άλλο με στροφή ή μεταφορά.
Παρατηρούμε ότι το προκύπτει από το με την ακολουθία των επόμενων στροφών:
- Κέντρου και γωνίας κατά την αρνητική φορά (μεταφέρει το στο )
- κέντρου και γωνίας κατά τη θετική φορά (μεταφέρει το στο )
- κέντρου και γωνίας κατά την αρνητική φορά (μεταφέρει το στο ).
Επειδή εδώ το άθροισμα των γωνιών των στροφών είναι , έχουμε μεταφορά, οπότε .
Re: Καθετότητα
Εδώ μπορεί να δει κανείς πολλές ενδιαφέρουσες λύσεις στο πρόβλημα.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9a#p841255
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9a#p841255
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5956
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: Καθετότητα
Ας επιχειρήσουμε και μία δεύτερη αρκετά στοιχειώδη διαπραγμάτευση:
Πολύ εύκολα παίρνουμε ότι το σημείο είναι η άλλη τομή των κύκλων
Προφανώς οι ευθείες είναι κάθετες στην ευθεία .
Θεωρούμε την στο σχήμα κάθετη στην , που τέμνει τον "μικρό" μπλε κύκλο στα σημεία , οπότε λόγω συμμετριών παίρνουμε:
Επίσης έχουμε:
οπότε παίρνουμε:
Πολύ εύκολα παίρνουμε ότι το σημείο είναι η άλλη τομή των κύκλων
Προφανώς οι ευθείες είναι κάθετες στην ευθεία .
Θεωρούμε την στο σχήμα κάθετη στην , που τέμνει τον "μικρό" μπλε κύκλο στα σημεία , οπότε λόγω συμμετριών παίρνουμε:
Επίσης έχουμε:
οπότε παίρνουμε:
- Συνημμένα
-
- FFFFFF.ggb.png (39.57 KiB) Προβλήθηκε 794 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Καθετότητα
Καλημέρα σε όλους.
Πολύ ωραίο το θέμα που μας θέτει ο συνάδελφος giannimani (Γιάννης υποθέτω;) προφανώς λάτρης και αυτός της Γεωμετρίας.
Καλώς ήρθες στην παρέα μας.
Ας προσθέσω άλλη μία αντιμετώπιση με τη χρήση ενός ενδιαφέροντος κατά τη γνώμη μου λήμματος:
Έστω και οι τομές των μεσοκαθέτων των με τις αντίστοιχα.
Το σημείο είναι κορυφή ισοσκελούς τριγώνου με , καθώς οι σχηματίζουν γωνία ίση με τη γωνία στροφής των ίσων τριγώνων , δηλαδή τη .
Από τις ομοιότητες των τριγώνων, προκύπτει ότι .
Έτσι αρκεί να αποδείξουμε ότι .
Αν είναι το μέσο της , το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, όμοιο με το , καθώς και , σύμφωνα με το παρακάτω [*]λήμμα[/u][/b] .
Επομένως και τα τρίγωνα είναι όμοια, με ορθογώνιο μετασχηματισμό ομοιότητας, καθώς έχουν δύο ομόλογες πλευρές κάθετες. Έτσι,
Λήμμα
Στις πλευρές τριγώνου και εξωτερικά αυτού, κατασκευάζουμε ισοσκελή τρίγωνα με άθροισμα γωνιών κορυφής ίσο με . Τότε, το τρίγωνο έχει γωνίες ίσες με τα μισά των αντιστοίχων γωνιών κορυφής των ισοσκελών τριγώνων. Δηλαδή . Το λήμμα εξακολουθεί να ισχύει και στην περίπτωση που κάποιο από τα ισοσκελή τρίγωνα εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή κάποια από τις γωνίες κορυφής των ισοσκελών τριγώνων, γίνει ευθεία γωνία, οπότε η αντίστοιχη κορυφή είναι μέσο της πλευράς του . Το λήμμα επίσης ισχύει και στην περίπτωση που κάποιο από τα ισοσκελή τρίγωνα, κατασκευαστεί στο εσωτερικό του . Τότε στο άθροισμα θεωρούμε τη μη κυρτή γωνία της κορυφής.
Απόδειξη:
Το εξάγωνο έχει .
Στρέφουμε το τρίγωνο περί το κατά γωνία ίση με , ώστε τη πλευρά να συμπέσει με την . Τότε εύκολα προκύπτει ότι και το είναι ίσο με το , όπου είναι η εικόνα του , καθώς και .
Έτσι έχουμε και την ισότητα των τριγώνων και .
Όμοια για τις άλλες γωνίες.
Πολύ ωραίο το θέμα που μας θέτει ο συνάδελφος giannimani (Γιάννης υποθέτω;) προφανώς λάτρης και αυτός της Γεωμετρίας.
Καλώς ήρθες στην παρέα μας.
Ας προσθέσω άλλη μία αντιμετώπιση με τη χρήση ενός ενδιαφέροντος κατά τη γνώμη μου λήμματος:
Έστω και οι τομές των μεσοκαθέτων των με τις αντίστοιχα.
Το σημείο είναι κορυφή ισοσκελούς τριγώνου με , καθώς οι σχηματίζουν γωνία ίση με τη γωνία στροφής των ίσων τριγώνων , δηλαδή τη .
Από τις ομοιότητες των τριγώνων, προκύπτει ότι .
Έτσι αρκεί να αποδείξουμε ότι .
Αν είναι το μέσο της , το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, όμοιο με το , καθώς και , σύμφωνα με το παρακάτω [*]λήμμα[/u][/b] .
Επομένως και τα τρίγωνα είναι όμοια, με ορθογώνιο μετασχηματισμό ομοιότητας, καθώς έχουν δύο ομόλογες πλευρές κάθετες. Έτσι,
Λήμμα
Στις πλευρές τριγώνου και εξωτερικά αυτού, κατασκευάζουμε ισοσκελή τρίγωνα με άθροισμα γωνιών κορυφής ίσο με . Τότε, το τρίγωνο έχει γωνίες ίσες με τα μισά των αντιστοίχων γωνιών κορυφής των ισοσκελών τριγώνων. Δηλαδή . Το λήμμα εξακολουθεί να ισχύει και στην περίπτωση που κάποιο από τα ισοσκελή τρίγωνα εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή κάποια από τις γωνίες κορυφής των ισοσκελών τριγώνων, γίνει ευθεία γωνία, οπότε η αντίστοιχη κορυφή είναι μέσο της πλευράς του . Το λήμμα επίσης ισχύει και στην περίπτωση που κάποιο από τα ισοσκελή τρίγωνα, κατασκευαστεί στο εσωτερικό του . Τότε στο άθροισμα θεωρούμε τη μη κυρτή γωνία της κορυφής.
Απόδειξη:
Το εξάγωνο έχει .
Στρέφουμε το τρίγωνο περί το κατά γωνία ίση με , ώστε τη πλευρά να συμπέσει με την . Τότε εύκολα προκύπτει ότι και το είναι ίσο με το , όπου είναι η εικόνα του , καθώς και .
Έτσι έχουμε και την ισότητα των τριγώνων και .
Όμοια για τις άλλες γωνίες.
- Συνημμένα
-
- ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές
-
- λημμα.png (11.28 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 287
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:42 pm
Re: Καθετότητα
Ας βάλω και εγώ μια λύση σε αυτό το γνωστό και ωραίο πρόβλημα. Το πρώτο που παρατηρώ είναι ότι εγγράψιμα (εύκολο π.χ. από ισότητα ). Τώρα αν θεωρήσω το ως σημειακό κύκλο, αρκεί να δείξω ότι η διαφορά της δύναμης σημείου των ως προς του κύκλους και είναι η ίδια για τα 2 σημεία.
Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι . Εστω τώρα ότι οι τέμνουν τους κύκλους ξανά στα αντίστοιχα.
Προσέχουμε τώρα ότι εγγράψιμο αφού .
Eτσι: .
Αρα πράγματι:
Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι . Εστω τώρα ότι οι τέμνουν τους κύκλους ξανά στα αντίστοιχα.
Προσέχουμε τώρα ότι εγγράψιμο αφού .
Eτσι: .
Αρα πράγματι:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες