Γεωμετρικοί Τόποι

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Γεωμετρικοί Τόποι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Τετ Ιούλ 03, 2013 2:07 pm

Δίνονται δύο άνισοι κύκλοι (O_1,R_1) και (O_2,R_2) που τέμνονται στα σημεία A και B. Από μεταβλητό σημείο M του κύκλου (O_1,R_1) φέρουμε τις ευθείες MA και MB που τέμνουν τον κύκλο (O_2,R_2) αντίστοιχα στα σημεία N και P .
(α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του κέντρου του κύκλου του περιγεγραμμένου στο τρίγωνο MNP, ο γ.τ. του ορθοκέντρου του τριγώνου MNP και ο γ.τ. του κέντρου βάρους του ίδιου τριγώνου.
(β) Να αποδειχτεί ότι η ευθεία NP εφάπτεται σε σταθερό κύκλο.


giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γεωμετρικοί Τόποι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Παρ Ιούλ 05, 2013 11:26 am

locus1a.jpg
locus1a.jpg (42.09 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές
α1) Έστω O σημείο του ζητούμενου γ.τ. Θεωρούμε τις εφαπτομένες MX_{1} και MX αντίστοιχα των κύκλων C_{1}(O_1,R_1) και C (βλ. σχήμα). Τότε
\angle X_{1}MB=\angle MAB=\angle MPN, οπότε MX_1 \parallel NP και \angle XMP=\angle MNP=\angle MBA οπότε MX \parallel AB. Επομένως προκύπτει άμεσα ότι MO \parallel O_1O_2 (ως κάθετες στην MX). Επίσης αν K το μέσο του NP, τότε τα O,O_2 και K ανήκουν στην ίδια ευθεία που είναι κάθετη στην NP. Άρα άμεσα προκύπτει ότι MO_1 \parallel OO_2. Επομένως το MO_1O_2O είναι παραλληλόγραμμο, άρα O_2O=O_1M=R_1 και άρα ο γ.τ. του σημείου Ο είναι κύκλος κέντρου O_2 και ακτίνας R_1.


giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γεωμετρικοί Τόποι

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Παρ Ιούλ 05, 2013 3:40 pm

locusa2.jpg
locusa2.jpg (41.91 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές
α2) Έστω H το ορθόκεντρο του τριγώνου MNP. Τα τρίγωνα MPN και MAB είναι όμοια με λόγο ομοιότητας \displaystyle \frac{OM}{R_1}=\frac{\delta}{R_1}, όπου \delta=O_1O_2=OM. Θεωρούμε το τρίγωνο M_1A_1B_1, όπου M_1,A_1,B_1 τα μέσα αντίστοιχα των πλευρών AB,MA,MB του τριγώνου MAB. Τα δύο τελευταία τρίγωνα είναι προφανώς όμοια με λόγο ομοιότητας \displaystyle \frac{1}{2}. Άρα τα τρίγωνα MNP και M_{1}A_{1}B_{1} είναι όμοια με λόγο ομοιότητας \displaystyle \frac{2\delta}{R_1}. Στη συνέχεια είναι φανερό ότι το σημείο O_1 είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου M_1A_1B_1. Έστω O_1M_1=h. Αφού O_1M_1 \perp AB τα MH και O_1M_1 είναι ομόλογα τμήματα των όμοιων τριγώνων MNP και M_{1}A_{1}B_{1}, άρα είναι \displaystyle \frac{MH}{M_1O_1}=\frac{2\delta}{R_1}, οπότε \displaystyle MH=\frac{2h\delta}{R_1}. Αφού MO_1 \parallel OK και OK \perp NP, τότε το ύψος M\Delta ' διέρχεται από το O_1. Τελικά έχουμε \displaystyle O_1H=MH-O_1M=\frac{2h\delta}{R_1}-R_1=\frac{2h\delta-R_1^2}{R_1}. Επομένως ο ζητούμενος γ.τ. είναι κύκλος κέντρου O_1 και ακτίνας \displaystyle \frac{2h\delta-R_1^2}{R_1}.
Όταν \displaystyle 2h\delta = R_1^2 το σημείο H είναι σταθερό.
τελευταία επεξεργασία από giannimani σε Δευ Ιούλ 08, 2013 10:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γεωμετρικοί Τόποι

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Δευ Ιούλ 08, 2013 1:55 am

locusa3.jpg
locusa3.jpg (29.63 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές
α3) Το κέντρο βάρους G του τριγώνου MNP ανήκει στο τμήμα OH και διαιρεί το τμήμα αυτό σε λόγο
\displaystyle \frac{OG}{GH} = \frac{1}{2} (ευθεία του Euler).
Είναι O_{1}H \parallel O_{2}O (αμφότερα κάθετα στην NP).
Από το G φέρουμε παράλληλη προς τις O_{1}H, O_{2}O που τέμνει την O_{1}O_{2} στο σημείο Z.
Οι ευθείες O_{1}O_{2} και OH τέμνονται από τις παράλληλες ευθείες O_{1}H, ZG και O_{2}O
άρα \displaystyle \frac{O_{1}Z}{ZO_{2}}=\frac{HG}{GO}=\frac{2}{1}, επομένως, η θέση του σημείου Z στο τμήμα O_{1}O_{2}
δεν εξαρτάται από τη θέση του σημείου M.
Στη συνέχεια, έστω E το σημείο τομής των O_{1}O_{2} και HO.
Από τα όμοια τρίγωνα O_{1}HE και ZGE έχουμε \displaystyle \frac{O_{1}H}{ZG}=\frac{O_{1}E}{ZE}=\frac{O_{1}Z-EZ}{EZ}=\frac{O_{1}Z}{ZE}-1.
Επίσης από όμοια τρίγωνα ZGE και O_{2}OE έχουμε \displaystyle \frac{O_{2}O}{GZ}=\frac{O_{2}E}{EZ}=\frac{O_{2}Z+ZE}{ZE}=\frac{O_{2}Z}{ZE}+1.
Αλλά αφού O_{1}Z = 2O_{2}Z, παίρνουμε \displaystyle \frac{O_{1}H}{ZG}+1=\frac{O_{1}Z}{ZE}=2\frac{O_{2}Z}{ZE}=2\left(\frac{O_{2}O}{ZG}-1 \right).
Επομένως \displaystyle ZG=\frac{2O_{2}O-O_{1}H}{3}=\frac{1}{3} \left(2R_{1}-\frac{2h\delta-R_{1}^2}{R_1} \right)=\frac{3R_{1}^2-2h\delta}{3R_1} (βλ. α2).
Άρα ο γ.τ. του σημείου G είναι κύκλος με κέντρο το σημείο Z του τμήματος O_{1}O_{2} ώστε
\displaystyle \frac{O_{1}Z}{ZO_{2}}=\frac{2}{1} και ακτίνας \displaystyle \frac{3R_{1}^2-2h\delta}{3R_1}.
Όταν \displaystyle{2h\delta=3R_{1}^2 το σημείο G παραμένει σταθερό.
τελευταία επεξεργασία από giannimani σε Δευ Ιούλ 08, 2013 10:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γεωμετρικοί Τόποι

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Δευ Ιούλ 08, 2013 2:40 pm

locusbb.jpg
locusbb.jpg (37.84 KiB) Προβλήθηκε 543 φορές
β) Η \angle NMP είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο σταθερό τόξο \overset{\frown}{AB} του κύκλου C_{1} και επομένως δεν εξαρτάται από το σημείο M, \angle NMP= \displaystyle \frac{\overset{\frown}{AB}}{2}.
Επίσης η ίδια γωνία μετρούμενη στον κύκλο C_{2} ισούται με \angle NMP=\displaystyle \frac{\overset{\frown}{NP}-\overset{\frown}{AB}}{2}.
Επομένως, το τόξο \overset{\frown}{NP} του κύκλου C_{2} παραμένει σταθερό (ίσο με το άθροισμα του τόξου \overset{\fown}{AB} του κύκλου C_{1}, και του τόξου \overset{\frown}{AB} του κύκλου C_2).
Συμπεραίνουμε ότι η απόσταση O_{2}K της χορδής NP από το κέντρο O_{2} του κύκλου C_{2} δεν εξαρτάται από το σημείο M και είναι σταθερή (Σχ. α). Άρα η χορδή NP εφάπτεται του κύκλου κέντρου O_{2} και ακτίνας O_{2}K.
Στην ειδική περίπτωση που το άθροισμα των τόξων AB των κύκλων C_{1} και C_{2} ισούται με 180^{\circ} (δηλ., όταν οι κύκλοι C_{1} και C_{2 είναι ορθογώνιοι, βλ. σχήμα β), τότε η χορδή NP διέρχεται πάντοτε από το κέντρο O_{2} του κύκλου C_{2}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης