Ορθογώνιο τρίγωνο και καθετότητα
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Ορθογώνιο τρίγωνο και καθετότητα
Στο παρακάτω σχήμα να αποδειχθεί ότι .
Κάτι μου θυμίζει(δεν έχω λύση) , αλλά δεν το βρίσκω !
Κάτι μου θυμίζει(δεν έχω λύση) , αλλά δεν το βρίσκω !
- Συνημμένα
-
- 2013-10-4,geometry.PNG (182.56 KiB) Προβλήθηκε 1617 φορές
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και καθετότητα
Μπάμπη καλημέρα!!. Για να σε καλοπιάσω , μπας και έρθεις "βόρεια" . Τα καλαμπόκια νομίζω πρέπει να τελειώνουν όπου νάναιΜπάμπης Στεργίου έγραψε:Στο παρακάτω σχήμα να αποδειχθεί ότι .Κάτι μου θυμίζει(δεν έχω λύση) , αλλά δεν το βρίσκω !
Έστω . Τότε από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι οι σειρές και είναι αρμονικές (κάθε διαγώνιος πλήρους
τετραπλεύρου διαιρείται αρμονικά από τις άλλες δύο), όπου , οπότε και οι δέσμες και είναι αρμονικές.
Προφανώς το είναι το έγκεντρο του τριγώνου (αφού διχοτόμοι των γωνιών του αντίστοιχα) και συνεπώς
η είναι η τρίτη διχοτόμος του, οπότε από την αρμονική δέσμη προκύπτει ότι ορθογώνιο στο .
[attachment=0]1.png[/attachment]
Επίσης
ισοσκελές και με το τρίγωνο ορθογώνιο στο διάμεσος του .
Οι ακτίνες της αρμονικής δέσμης τέμνουν την ευθεία στα σημεία αντίστοιχα και με το μέσο της προκύπτει ότι η τέταρτη ακτίνας της
θα είναι παράλληλη προς την , δηλαδή και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
- Συνημμένα
-
- 1.png (30.53 KiB) Προβλήθηκε 1586 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και καθετότητα
Καλημέρα σε όλους . Ας το δούμε και ως επί το πλείστον μετρικάΜπάμπης Στεργίου έγραψε:Στο παρακάτω σχήμα να αποδειχθεί ότι .
Κάτι μου θυμίζει(δεν έχω λύση) , αλλά δεν το βρίσκω !
Θα μου επιτρέψει Ο Μπάμπης εναλλάξω τα σημεία για ευχρηστία γνωστών τύπων. Έστω το σημείο τομής της με την και το αρμονικό συζυγές του ως προς τα . Θα ισχύουν :
και τα σημεία συνευθειακά .Δηλαδή τα σημεία συνευθειακά.
Επίσης κάθετες πλευρές , άρα δηλαδή
Από το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την έχουμε:
. Αλλά από το θεώρημα διχοτόμων στο τρίγωνο και τις
γνωστές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε :
και άρα η προηγούμενη σχέση δίδει :
. Επίσης πάλι από το θεώρημα της διχοτόμου
στο τρίγωνο έχουμε:
δηλαδή
. Από τις έχουμε και άρα και
αφού θα είναι
Φιλικά Νίκος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13233
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Ορθογώνιο τρίγωνο και καθετότητα
Την είδα συμπτωματικά, ανεβάζοντας αυτήν (που είχε παρόμοιο τίτλο).
Στη συνέχεια ανέβασα μία γενίκευσή της εδώ και τέλος, ο Στάθης έθεσε στην ίδια άσκηση το γενικότερο πρόβλημα.
Και στις δύο περιπτώσεις λύτες οι συνήθεις ύποπτοι Νίκος Φραγκάκης και Στάθης Κούτρας
Στη συνέχεια ανέβασα μία γενίκευσή της εδώ και τέλος, ο Στάθης έθεσε στην ίδια άσκηση το γενικότερο πρόβλημα.
Και στις δύο περιπτώσεις λύτες οι συνήθεις ύποπτοι Νίκος Φραγκάκης και Στάθης Κούτρας
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες