τελευταία 029: γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

τελευταία 029: γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Ιαν 26, 2014 1:33 pm

Συγκεντρώνονται εδώ

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{ABC} του οποίου οι κορυφές \displaystyle{B} και \displaystyle{C} είναι σταθερές και η γωνία \displaystyle{\widehat{A} } είναι σταθερού μέτρου. Από το μέσο \displaystyle{M} της \displaystyle{AB} φέρνουμε την \displaystyle{ME} (το \displaystyle{E\in AC}) ώστε η γωνία \displaystyle{\widehat{MEC}} να είναι σταθερού μέτρου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του ορθόκεντρου, του έγκεντρου και του περίκεντρου του τριγώνου \displaystyle{AME}. Εαν με πλευρά \displaystyle{AE} κατασκευάσουμε τετράγωνο \displaystyle{AEDZ}, να βρεθούν οι γεωμετρικοί τόποι των \displaystyle{D} και \displaystyle{Z}.
last 029.png
last 029.png (26.52 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές
Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: τελευταία 029: γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Ιαν 27, 2014 8:29 am

Πολύ καλό πρόβλημα με σημαντική Γεωμετρική Κίνηση (Δυναμική Γεωμετρία).

Ας δούμε πως αντιμετωπίζονται τα τρία πρώτα ερωτήματα με μία μέθοδο:

Ο κύκλος c είναι κατά τα γνωστά σταθερός με βάση τα δεδομένα του προβλήματος. Τα τρίγωνα AME διατηρούν τις γωνίες τους μένουν δηλαδή όμοια προς το τρίγωνο {A_1}{M_1}{E_1} (Σχ.2) που έχει τις αντίστοιχες γωνίες ίσες.
Έστω σταθερό σημείο Q_1 στο Σχ.2.. Ας θεωρήσουμε ως αντίστοιχο ομόλογο του σημείου Q_1 το σημείο Q στο τρίγωνο AME. Η AQ θα διέρχεται από το σταθερό σημείο F του c. Έστω BT_1 \parallel MQ, που σημαίνει ότι \angle BT_1 F = \angle MQF,\quad ct. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το τρίγωνο ABT_1 παραμένει όμοιο προς εαυτόν. Όμως το σημείο Q είναι μέσον του AT_1 συνεπώς η γωνία \angle BQF θα διατηρεί το μέτρο της πράγμα που σημαίνει πως το σημείο Q θα κινείται στο σταθερό τόξο FQB του σταθερού κύκλου h.


(*) Θα επανέλθουμε για να δούμε την εξέλιξη μετά την τοποθέτηση του τετραγώνου όπως είναι στο σχήμα πάνω, δηλαδή για να προσδιορίσουμε τον γεωμετρικό τόπο των κορυφών D,Z του τετραγώνου αυτού.
Συνημμένα
qqqqq.ggb.png
qqqqq.ggb.png (37.25 KiB) Προβλήθηκε 443 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: τελευταία 029: γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Πέμ Ιαν 30, 2014 2:21 am

locus_five.jpg
locus_five.jpg (34.07 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές
Το \triangle{AME} παραμένει όμοιο προς εαυτό. Έστω \frac{AM}{AE}=k \Rightarrow \frac{AB}{AE}=2k. Επομένως και το \triangle{BAE} παραμένει όμοιο προς εαυτό.

Έστω \frac{BE}{BA}=\lambda και \angle{ABE}=\omega. Τότε το E είναι ομόλογο του A με την ομόρροπη ομοιότητα κέντρου B, γωνία στροφής \omega και λόγου \lambda. Άρα ο γ.τ. του E είναι ο κύκλος C_3 ο ομόλογος του C_1 με την παραπάνω ομοιότητα.

Το M είναι ομόλογο του A με την ομοιοθεσία κέντρου B και λόγου \frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}. Άρα ο γ.τ. του M είναι ο κύκλος C_{2} ο ομόλογος του C_{1} με την παραπάνω ομοιοθεσία.

Έστω \Theta το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων C_{2} και C_{3}. Θα αποδείξουμε ότι η ME
διέρχεται πάντοτε από το \Theta. Πράγματι, \angle{B\Theta M}=180^{\circ}-\angle{B\Lambda M}=180^{\circ}-\angle{B\Gamma E}=\angle{B\Theta E}, όπου \Lambda το μέσο του B\Gamma, οπότε \Lambda M \parallel \Gamma A. Δηλαδή, τα \Theta, M και E ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Τώρα, το τρίγωνο AME όπως και το πεντάγωνο MAZ\Delta E κατά τη διάρκεια της κίνησής τους παραμένουν όμοια προς τον εαυτό τους και τρεις ευθείες τους, οι AM, AE και ME διέρχονται αντίστοιχα από τα σταθερά σημεία B, \Gamma και \Theta.

Θα αποδείξουμε ότι κάθε σημείο τους διαγράφει έναν κύκλο.

Γι' αυτό θεωρούμε και μία δεύτερη θέση του τριγώνου, έστω την A_{1}M_{1}E_{1}. Εφόσον τα τρίγωνα AME και A_{1}M_{1}E_{1} είναι όμοια, θα συνδέονται με μία ομοιότητα κέντρου έστω O. Τότε η γωνία AOA_{1} θα ισούται με τη γωνία στροφής της ομοιότητας και επομένως θα ισούται με τη γωνία των ευθειών AB και A_{1}B καθώς επίσης και με τη γωνία των ευθειών A\Gamma και A_{1}\Gamma.

Επομένως \angle{AOA_{1}}=\angle{ABA_1}=\angle{A\Gamma A_1}, δηλαδή το O ανήκει στον κύκλο που διέρχεται
από τα σημεία A, A_1, B και \Gamma. Όμοια αποδεικνύεται ότι το O ανήκει στον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία M, M_1, B και \Theta.

Προκύπτει ότι το κέντρο O της (ομόρροπης) ομοιότητας των τριγώνων AME και A_{1}M_{1}E_{1} είναι το σημείο τομής των περιγεγραμένων κύκλων των τριγώνων AB\Gamma και MB\Theta και επομένως δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη θέση του A_{1}M_{1}E_{1}.

Αυτό σημαίνει ότι δύο οποιεσδήποτε θέσεις του \triangle{AME} έχουν το ίδιο κέντρο στροφής (που είναι το B).
Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι, εφόσον το A διαγράφει κύκλο και το τρίγωνο AME κινείται ώστε να παραμένει όμοιο προς εαυτό, κάθε άλλο σημείο του τριγώνου AME διαγράφει επίσης κύκλο, π.χ. το ορθόκεντρο H του τριγώνου AME. Έστω H_1 το αντίστοιχο του H στο τρίγωνο A_{1}M_{1}E_{1}. Εφόσον όλες οι θέσεις του τριγώνου είναι όμοιες μεταξύ τους και το σημείο B είναι σταθερό, προκύπτει ότι τα τρίγωνα BAH και BA_{1}H_{1} είναι όμοια, επομένως \angle{H_{1}BA_{1}}=\angle{HBA} και \frac{BH_{1}}{BA_{1}}=\frac{BH}{BA}. Συμβολίζουμε τη γωνία HBA με \phi και το λόγο \frac{BH}{BA} με \rho; είναι φανερό ότι με την ομόρροπη ομοιότητα κέντρου B, γωνία στροφής \phi και λόγου \rho το H_1 μεταφέρεται στο A_1. Επειδή η A_1M_1E_1 είναι μία τυχαία θέση του τριγώνου, αυτό σημαίνει ότι με την παραπάνω ομόρροπη ομοιότητα ο γεωμετρικός τόπος του A (δηλαδή, ο κύκλος C_{1}) μεταφέρεται στο γεωμετρικό τόπο του σημείου H. Επομένως ο γ.τ. του H είναι ο κύκλος C\,' που προκύπτει από το C_{1} με την παραπάνω ομοιότητα.


Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: τελευταία 029: γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Ιαν 30, 2014 11:53 pm

η χαρά των γεωμετρικών μετασχηματισμών αποδείχτηκε τελικά η παραπάνω άσκηση :)

η άσκηση είναι η 930 (τελευταία στην τελευταία σελίδα) από το βιβλίο του Αναστάσιου Ι. Σκιαδά
Γεωμετρία, Επιπεδομετρία, τεύχος Β, 2η έκδοση
έχει 314 σελίδες κι εκδόθηκε το 1974 στην Αθήνα, εκδόσεις δεν αναφέρονται κάπου


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5382
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: τελευταία 029: γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Σάβ Φεβ 01, 2014 10:42 am

Ας μου επιτραπεί να επανέλθω, ώστε να αναφερθώ στην σκέψη για την ημέτερη λύση αναφορικά με τον γεωμετρικό τόπο των κορυφών του τετραγώνου D, Z.

Τόσο ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής D του τετραγώνου, όσο και εκείνος της κορυφής Z του ίδιου τετραγώνου στηρίζονται στον έξης γεωμετρικό τόπο:
«Αν T είναι σταθερό σημείο σταθερού κύκλου (O,r) και το τρίγωνο TBM κινείται ώστε η κορυφή του B να διαγράφει τον σταθερό κύκλο και ταυτόχρονα να διατηρεί τις γωνίες του όπως ακριβώς είναι στο σχήμα, ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών M είναι ο σταθερός κύκλος (K, KT) αφού το τρίγωνο TOK είναι σταθερό ως κατασκευασμένο να έχει την πλευρά του OT σταθερή και να είναι όμοιο προς τα τρίγωνα TBM. (Σχ.1)»

Στη περίπτωση μας λοιπόν και πιο συγκεκριμένα για τους γεωμετρικούς τόπους των κορυφών D,Z έχουμε:

Από τα δεδομένα του προβλήματος αντιλαμβανόμαστε ότι το τρίγωνο ABE (Σχ.2) παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του, οπότε ένας σταθερός αντιπρόσωπος της κλάσης που δημιουργείται, τοποθετημένος σε άλλη θέση, είναι το τρίγωνο A_1 B_1 E_1 (Σχ.3).
Επίσης το σχήμα ABEDZ (Σχ.2) παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του και ένας σταθερός αντιπρόσωπος της κλάσης που δημιουργείται είναι το σχήμα A_1 B_1 E_1 D_1 Z_1 (Σχ.3). Συνεπώς αν θεωρήσουμε το τρίγωνο BST είναι σταθερό και όμοιο προς το τρίγωνο BED παίρνουμε SB = SE \Rightarrow TD = TB και έτσι οδηγούμαστε στο ότι το σημείο T κινείται στον σταθερό κύκλο (T,TB).
Όμοια αν θεωρήσουμε \vartriangle BOL \sim \vartriangle B_1 A_1 Z με το L να είναι σταθερό σημείο το σημείο Z θα κινείται στον σταθερό κύκλο (L,LB).
Συνημμένα
basic.ggb.png
basic.ggb.png (15.95 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές
12qqqqq.ggb.png
12qqqqq.ggb.png (50.18 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης