ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α8.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 1,
Σελίδα βιβλίου 24 ή διαδικτυακά 54,
Πρόταση 1α(20).

Ή, πιο εύκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Σελίδα βιβλίου 145 ή ψηφιακά 169, παράγραφος 2.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α9.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Ιδιότητα των κορυφών ορθικού τριγώνου.
Α9. Κάθε τρίγωνο, έχει ίσα τα τέσσερα αθροίσματα, των τετραγώνων των αποστάσεων της κάθε κορυφής του ορθικού τριγώνου, από τις τρεις κορυφές και το ορθόκεντρο του τριγώνου αναφοράς.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

Πρόταση Α9.

Κάθε τρίγωνο, έχει ίσα τα τέσσερα αθροίσματα, των τετραγώνων των αποστάσεων της κάθε κορυφής του ορθικού τριγώνου, από τις τρεις κορυφές και το ορθόκεντρο του τριγώνου αναφοράς.
[/u]

Από το Πυθαγόρειο στα σκιασμένα τρίγωνα, τo περιγραφέν άθροισμα τετραγώνων για το σημείο ισούται



(έγινε παρόμοια χρήση του Πυθαγορείου) που είναι τo περιγραφέν άθροισμα τετραγώνων για το σημείο . Τελειώσαμε.

Σχόλια: Δεν είμαι τόσο βέβαιος ότι ιδιότητες με απλές αποδείξεις δύο γραμμών μπορούν να ονομαστούν Προτάσεις. Επίσης ας επισημάνω ότι υπάρχουν Τυπολόγια τουλάχιστον δύο αιώνων που έχουν χιλιάδες παρόμοιες ταυτότητες. Δεν έψαξα για την συγκεκριμένη, αλλά θα ήταν χρήσιμο να τα ερευνούσε κανείς. Εν γένει είναι δύσκολο να βρεθεί ταυτότητα που δεν είναι ήδη γνωστή.

[Mihalis_Lambrou]

Επίσης ας επισημάνω ότι υπάρχουν Τυπολόγια τουλάχιστον δύο αιώνων που έχουν χιλιάδες παρόμοιες ταυτότητες.

Ως συνέχεια του προηγούμενού μου ποστ δίνω έναν κατάλογο παλιών Τυπολογίων τα οποία τα επιλέγω με κριτήριο ότι είναι εξαιρετικά αλλά και γιατί μπορεί να τα βρει κανείς δωρεάν στο διαδίκτυο. Επίσης καταγράφω αυτά τα οποία ασχολούνται κυρίως με Γεωμετρία, και αφήνω άλλα (ακόμα καλύτερα) τα οποία όμως είναι σε όλο το φάσμα των Μαθηματικών αλλά με λίγη μόνο Γεωμετρία. Αφήνω έξω και τα σύγχρονα, μερικά από τα οποία είναι κορυφαία (αλλά με λιγότερη Γεωμετρία). Επίσης δεν παραθέτω άρθρα σε περιοδικά, παρόλο που κάποια έχουν πλουσιότατο κατάλογο Γεωμετρικών Τύπων.

1) Robert D. Carmichael, Mathematical Tables and Formulas, (1933)

2) R. Watters, A Collection of Geometrical Formulas, (1914)

3) Ludwig Clauss, Geometrical Formulary, (1905)

4) Friedrich Wilhelm August Arndt, Tabellen und Formeln für die Sphärische Trigonometrie und die Geometrie, (1822)

5) August Leopold Crelle, Formeln und Sätze der Elementar-Mathematik, (1835)

6) J. A. Serret, Formulaire de mathématiques pures et appliquées, (1881)

7) A. Lacroix, Formulaire Pratique de Mathématiques, (1863)

8) Albert Wangerin, Handbuch der Geometrischen Konstruktionen, (1902) (έχει και ωραίες Γεωμετρικές κατασκευές)

9) Carl Riecke, Formeln zur Mathematik, Geometrie, Trigonometrie und Physik, (1894)

10) A. Jullien, Formulaire de géométrie pratique, (1889)

11) Carl Riecke, Mathematische Formeln für den praktischen Gebrauch, (1891)

12) Maurice d'Ocagne, Formulaire de Mathématiques, (1894)

13) Christian Gerhardt, Lehrbuch der Elementar-Geometrie, (1866)

14) Jean Guillaume Garnier, Tables de Logarithmes et de Formules Géométriques", (1837)

15) Louis Lefèvre, Abrégé de géométrie pratique, (1877)

16) Albert Bouvier, Nouvelles tables et formules de mathématiques pures et appliquées, (1890)

Επίσης έχω ένα εξαιρετικό Ρώσικο του 1937, που δεν θυμάμαι που το βρήκα. Θα το αναρτήσω εδώ όταν βρω τον τρόπο.

Πού θα τα βρούμε;

Σε διάφορα μέρη αλλά σημειώνω μερικές από τις πιο μεγάλες πηγές

1) Gallica (Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας), https://gallica.bnf.fr
2) Google Books: https://books.google.com (εκεί βοηθά το φίλτρο "Free eBooks")
3) Internet Archive: https://archive.org

και όχι μόνο, αλλά για την ώρα αρκούν (έχουν όλα τα παραπάνω).

Και ένα τελευταίο σχόλιο: Ούτε στα παραπάνω αιωνόβια Τυπολόγια δεν θα βρει κανείς την πρώτη εμφάνιση των τύπων που καταγράφονται. Τα παραπάνω είναι απλά συλλογές τύπων που ήδη είχαν εμφανιστεί ακόμη παλιότερα. Η πρώτη εμφάνιση είναι συχνά πολύ νωρίτερα (εποχή Euler και πίσω), χαμένη μέσα στον χρόνο.

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α9.

Αγαπητοί φίλοι,
Δύο αποδείξεις μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 1,
Σελίδα βιβλίου 143, ή διαδικτυακά 173,
Πρόταση 1α(98).

Ή, πιο εύκολα, την μια απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Σελίδα βιβλίου 192, ή ψηφιακά 216, παράγραφος ζ, Πρόταση 7.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση την παρακάτω νέα Γεωμετρική Κατασκευή Α10:

Α10. Στο επίπεδο κάθε τετράπλευρου ΑΒΓΔ, υπάρχει σημείο Ε, για το οποίο τα τρίγωνα ΕΑΒ, ΕΔΓ είναι όμοια;.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μα ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Κατασκευής Α10.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδιίξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Τόμος Ι των άρθρων μου, σελίδα τόμου 309, ή διαδικτύου 333.

Ή, πιο εύκολα, την μια απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα τόμου 309, ή διαδικτύου 333.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Άσκηση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής.

Α10. Στο επίπεδο κάθε τετράπλευρου ΑΒΓΔ, υπάρχει σημείο Ε, για το οποίο τα τρίγωνα ΕΑΒ, ΕΔΓ είναι όμοια;

Δεν έγραψα λύση όταν αναρτήθηκε το πρόβλημα γιατί το θεώρησα απόλυτα άμεσο. Όταν όμως διαπίστωσα ότι η προταθείσα λύση είναι σχετικά περίπλοκη, επανέρχομαι με την απλή λύση που είχα κατά νου.

Θέλουμε (σχήμα αριστερά) . Άρα δεν έχουμε παρά τα κατασκευάσουμε τους κύκλους του Απολλωνίου των σημείων που βλέπουν τα και, αντίστοιχα, υπό σταθερό λόγο . Τα σημεία που τέμνονται είναι τα ζητούμενα. Τελειώσαμε.

Συμπληρώνω ότι έχουμε και άλλες δύο λύσεις (σχήμα δεξιά) ανάλογα τον προσανατολισμό των ομοίων τριγώνων. Τώρα είναι . Οπότε κατασκευάσουμε τους κύκλους του Απολλωνίου των σημείων που βλέπουν τα και, αντίστοιχα, υπό σταθερό λόγο . Τα σημεία που τέμνονται είναι τα ζητούμενα. Σύνολο σημεία, γενικά.

Ας σχολιάσω ότι δεν βλέπω πώς ασκήσεις με απλούστατες λύσεις λίγων γραμμών μπορούν να θεωρηθούν Προτάσεις.
.

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α11.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α11. Στα αντίστοιχα πεντάγωνα, το πεντάγωνο που έχει κορυφές τις πέντε τομές των «μια παρά μια» πλευρών του εγγεγραμμένου τους πενταγώνου, είναι εγγεγραμμένο στο πεντάγωνο, που έχει κορυφές τις πέντε τομές των «μια παρά μια» πλευρών του περιγεγραμμένου τους πεντάγωνου.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.

[Για τον όρο "Αντίστοιχα Πολύγωνα", εδώ: https://drive.google.com/file/d/1lFIXI9 ... ht-B1/view
σελίδα βιβλίου Δ8, ή διαδυκτύου 19, παρ/φος 22].


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α11.

Αγαπητοί φίλοι,
Δύο αποδείξεις μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 1,
Σελίδα βιβλίου 67, ή διαδικτυακά 97,
Πρόταση 1α(49).

Ή, πιο εύκολα, την μια απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Σελίδα βιβλίου 95, ή ψηφιακά 119, παράγραφος 11, Πρόταση 9.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

Πρόταση Α11.

Α11. Στα αντίστοιχα πεντάγωνα, το πεντάγωνο που έχει κορυφές τις πέντε τομές των «μια παρά μια» πλευρών του εγγεγραμμένου τους πενταγώνου, είναι εγγεγραμμένο στο πεντάγωνο, που έχει κορυφές τις πέντε τομές των «μια παρά μια» πλευρών του περιγεγραμμένου τους πεντάγωνου.

Δεν έγραψα λύση όταν προτάθηκε η άσκηση γιατί την θεώρησα ΑΜΕΣΗ εφαρμογή του Θεωρήματος Pascal για εγγεγραμμένα εξάγωνα (μάλιστα στην ειδική περίπτωση με εγγεγραμμένα τετράπλευρα, όπου δύο πλευρές αντικαθίστανται με εφαπτομένες). Διαπιστώνοντας ότι η προταθείσα λύση είναι σχετικά περίπλοκη, επανέρχομαι για να αναρτήσω την λίγων γραμμών άμεση λύση που είχα κατά νου:

Έστω το περιγεγραμμένο πεντάγωνο (κόκκινες κορυφές) και το εγγεγραμμένο στα σημεία επαφής (μπλε κορυφές). Θέλουμε να αποδείξουμε ότι το σημείο τομής των βρίσκεται στην ευθεία που ορίζουν οι η τομή των και η τομή που ορίζουν η τομή των (όμοια οι υπόλοιπες περιπτώσεις). Αυτό είναι άμεσο εξετάζοντας το γραμμοσκιασμένο εγγεγραμμένο τετράπλευρο . Πράγματι από Pascal το βρίσκεται στην ευθεία , όπου η τομή των . Επίσης το βρίσκεται στην ίδια ευθεία για τον ίδιο λόγο. Δηλαδή τα είναι συνευθειακά, που δείχνει το ζητούμενο και μάλιστα σε λίγο ισχυρότερη μορφή.
.

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση την παρακάτω νέα Γεωμετρική Κατασκευή Α12:

Α12. Να κατασκευασθεί πεντάγωνο του οποίου τα ύψη συντρέχουν.
(Ύψη πεντάγωνου ονομάζουμε τις κάθετες που άγονται από τις κορυφές του στις απέναντι πλευρές του

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μα ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Λύση του παρπάνω Πρόβλήματος Α12.

Αγαπητοί φίλοι,
Λύση μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Τόμος Ι των Άρθρων μου, Σελ. βιβλ. 351, ή διαδικτύου 375, παράγ. 3β.

Ή, πιο εύκολα, την λύση μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελ. βιβλ. 351, ή διαδικτύου 375, παράγ. 3β.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση την παρακάτω νέα Γεωμετρική Κατασκευή Α16:

Α16. Α16. Να κατασκευασθεί κυρτό εξάγωνο (όχι κανονικό), εγγεγραμμένο σε κύκλο, τέτοιο ώστε οι κύριες διαγώνιές του να διχοτομούν τα ζεύγη των απέναντι γωνιών (του εξάγωνου) από τις κορυφές των οποίων περνούν..

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

Επίσης έχω ένα εξαιρετικό Ρώσικο του 1937, που δεν θυμάμαι που το βρήκα. Θα το αναρτήσω εδώ όταν βρω τον τρόπο.

.
Μπορείτε να βρείτε το Τυπολόγιο Γεωμετρίας (στα Ρώσικα, ) που υποσχέθηκα, στο λινκ

εδώ.

Οι τύποι αρχίζουν στην σελίδα .

(Θα παραθέσω το λινκ και στο σημείο του φόρουμ όπου παραπέμπει σε βιβλιογραφία).

[ΝΙΚΟΣ]

Λύση του παρπάνω Πρόβλήματος Α13.

Αγαπητοί φίλοι,
Λύση μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλ. Νέα Στοιχεία Γωμ, Τεύχος 3 σελ. βιλ.233,ή διαδ. 243, Πρότ. 2ε(58).

Ή, πιο εύκολα, την λύση μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1YBEELC ... Lkre9/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελ. βιβλ. 233, ή διαδικτύου 243, παράγ. 2α(58).

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α14.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α14. Κάθε τρίγωνο, και το αντίστοιχό του τρίγωνο, το οποίο έχει κορυφές τα κέντρα των τριών εγγεγραμμένων του τετραγώνων, είναι ομολογικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α14.

Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 4,
Σελίδα βιβλίου 37, ή διαδικτυακά 43,
Πρόταση 4η(26).

Ή, πιο εύκολα, την μια απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Σελίδα βιβλίου 262, ή ψηφιακά 286, παράγραφος 6ιβ.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α15.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α15. Τα Ορθοκεντρικά τετράπλευρα είναι και ορθοδιαγώνια.
(Ορθοκεντρικά τετράπλευρα, ονομάσαμε τα μη κυρτά τετράπλευρα εκείνα, που έχουν κάθετες τις απέναντι πλευρές τους).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α15.

Αγαπητοί φίλοι,
Απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Βιβλίο Άρθρων μου Τόμος Ι, Σελίδα βιβλίου 189, ή διαδικτυακά 213, Πρόταση 1.

Ή, πιο εύκολα, την απόδειξή μου θα βρείτε αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή: Σελίδα βιβλίου Άρθρων μου 189, ή ψηφιακά 213, Τόμος Ι, παράγραφος 3α.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα καλοπροαίρετα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html