ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α1.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α1. Σε κάθε περιγεγραμμένο και ταυτόχρονα εγγεγραμμένο σε δύο διαφορετικούς κύκλους τετράπλευρο, η διάμεσος των διαγώνιων του, είναι κάθετη στη διάμεσο των διαγώνιων του εγγεγραμμένου τετράπλευρου που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στο παραπάνω τετράπλευρο.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Το δύσκολο είναι να ανακαλύψεις ένα θεώρημα, η απόδειξη του είναι εύκολη”: Riemann.
viewtopic.php?f=62&t=56328

Απόδειξη της Πρότασης Α1.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2,
Σελίδα βιβλίου 41 ή ψηφιακά 67,
Πρόταση 2α(32).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

ΔΕΝ ΑΠΑΝΤΩ

.
Aγαπητοί φίλοι, ανακοινώνω ότι θα σταματήσω να αναρτώ λύσεις στο παρόν θρεντ.

Γιατί; Ο νοών νοείτω.

Με την ευκαιρία θα ήθελα να κάνω έναν απολογισμό: Το θρεντ έφτασε στις 262 αναρτήσεις. Στις τελευταίες 173 είμαι ο μόνος που αναρτούσε λύσεις ή σχόλια. Ναι, ο προηγούμενος που ανάρτησε λύση, εκτός εμού, είναι στο ποστ #89. Στο σύνολο έχουν απαντήσει με λύσεις μόνο 6 άλλα άτομα (ο ΚΒ με 6 ποστ, ο ΠΦ με 2 ποστ, ο ΚΠ με 1, ο ΑΒ με 1, ΚΡ με 1 και ο ΧΚ με 1), από τα οποία άτομα τα τρία απάντησαν πριν από 14 χρόνια, το μακρυνό 2009 ή 2010.

Για αρκετό διάστημα έκανα συνειδητή προσπάθεια να κρατήσω το θρεντ ζωντανό, αλλά ήλθε η ώρα να δώσω την σκυτάλη σε άλλον. Δεν θα γράψω άλλη λύση ακόμα και αν την γνωρίζω όπως, για παράδειγμα, για την τρέχουσα άσκηση.

Ίσως κατά καιρούς, αλλά δεν το υπόσχομαι, θα αναρτώ ιστορικά σχόλια που θα επισημαίνουν ποια είναι η πρώτη εμφάνιση των προτάσεων που συζητούνται εδώ. Συνήθως έχουν ενδιαφέρον γιατί αναφέρονται σε έργα, προ αιώνος και βάλε, που κάποτε ήσαν κεντρική βιβλιογραφία.

Φυσικά για το υπόλοιπο mathematica θα είμαι παρών, όπως πάντα.

[ΝΙΚΟΣ]

ΔΕΝ ΑΠΑΝΤΩ.

Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α2.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α2. Κάθε ζεύγος ορθολογικών τριγώνων, στα οποία συμπίπτουν τα δύο ορθολογικά τους σημεία είναι και τρίγωνα ομολογικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

1. Αγαπητοί φίλοι, σε κάθε μου ανάρτησή εδώ, με την τελευταία μου παράγραφο, παραπέμπω στο ποστ 1, ως εξής:
«Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.».

2. Στο ποστ 1, μεταξύ άλλων, αναφέρονται και τα ακόλουθα:
«Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας.
α. Σ’ αυτό εδώ τον χώρο, θα σας παρουσιάζουμε στο εξής, σημαντικές κατά την γνώμη μας Προτάσεις -Προβλήματα-γ.τ. Γεωμετρίας, συνήθως με τις αποδείξεις τους, τις οποίες έχουμε επινοήσει κατά το παρελθόν και τις οποίες δεν είχαμε συναντήσει μέχρι τότε, σαν Προτάσεις, στη γνωστή μας βιβλιογραφία (πρωτοεμφανιζόμενες), άσχετα αν εκ των υστέρων έχουμε συναντήσει κάποιες απ’ αυτές.
β. Γι’ αυτές τις νέες Προτάσεις, κτλ, θα θέλαμε να μας γνωρίζετε συγκεκριμένα αν τις έχετε συναντήσει, που, πότε και να κάνετε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας.
γ. Εξυπακούεται ότι, οι παραπάνω Προτάσεις μπορεί να είναι πολύ δύσκολες μέχρι και πολύ απλές, Στη δεύτερη περίπτωση, καλό είναι οι κ. κ. Καθηγητές να τις αφήνουν για τους μαθητές, τουλάχιστον για ένα 24ωρο.
δ. Στόχος μας είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσουμε στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες Προτάσεις, κτλ, μπορέσουμε και όχι τόσο η συμμετοχή.
Παρόλα αυτά οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις-λύσεις και ακόμη να κάνουν τις δικές τους επεκτάσεις-γενικεύσεις και τα δικά τους σχόλια. Δικές μας αποδείξεις-λύσεις, θα ακολουθούν σε εύλογο χρονικό διάστημα».

3. Επειδή παρατήρησα ότι τα παραπάνω δε λαμβάνονται υπόψη, θα ήθελα να παρακαλέσω και εδώ να λαμβάνονται υπόψη, προς αποφυγή παρεξηγήσεων.

4. Τα παραπάνω αναφερόμενα πιστεύω ότι δίνουν απαντήσεις σε διάφορους υπαινιγμούς.
Ευχαριστώ για την προσοχή σας.

.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α2.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2,
Σελίδα βιβλίου 11 ή ψηφιακά 37,
Πρόταση 2α(8).

Ή, πιο εύκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
περιεχόμενα αυξ. αρ. 7, σελ.βιβλιου 80 ψηφ. 104, Πρόταση Β11.


Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α3.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α3. Κάθε περιγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο, είναι ταυτόχρονα και εγγράψιμο σε άλλο κύκλο, αν και μόνο αν, η κάθε μια διαγώνιος του αντίστοιχού του εγγεγραμμένου τετράπλευρου, είναι διχοτόμος μιας γωνίας των διαγώνιων του δοσμένου περιγεγραμμένου τετράπλευρου.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α3.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2,
Σελίδα βιβλίου 32 ή ψηφιακά 58,
Πρόταση 2α(27).

Ή, πιο εύκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2,
Σελίδα βιβλίου 32 ή ψηφιακά 58,
Πρόταση 2α(27).


Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α4.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α4. Σε κάθε κυρτό περιγεγραμμένο σε κύκλο εξάγωνο, οι δύο τριάδες ευθειών, που συνδέουν κάθε μια τομή των τριών ζευγών απέναντι πλευρών του, με μία από τις τρεις «μία παρά μία» κορυφές του παραπάνω εξάγωνου, συντρέχουν σε δύο σημεία.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δύο δικές μου αποδείξεις θα ακολουθήσουν διαδοχικά σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α4.

Αγαπητοί φίλοι,
Την πρώτηη απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2,
Σελίδα βιβλίου 25 ή ψηφιακά 51,
Πρόταση 2α(20).

Ή, πιο εύκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2,
Σελίδα βιβλίου 25 ή ψηφιακά 51,
Πρόταση 2α(20).

Η δεύτερη αποπόδειξή μου θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

2η Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α4.

Αγαπητοί φίλοι,
Την δεύτερη απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2,
Σελίδα βιβλίου 142 ή ψηφιακά 168,
Πρόταση 2α(101).

Ή, πιο εύκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2,
Σελίδα βιβλίου 142 ή ψηφιακά 168,
Πρόταση 2α(101).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής Α5.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση την παρακάτω νέα Γεωμετρική Κατασκευή:

Α5. Να κατασκευαστεί περιγεγραμμένο σε δοσμένο κύκλο τυχαίο οκτάγωνο (κυρτό ή μη), του οποίου οι διαγώνιες (κύριες), να συντρέχουν σε δοσμένο σημείο του επιπέδου του.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μα ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Λύση του παρπάνω Προβλήμας Α5.

Αγαπητοί φίλοι,
Την λύση μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 3,
Σελίδα βιβλίου 80 ή ψηφιακά 90,
Πρόταση 1ε(61).

Ή, πιο εύκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1ohUEe2 ... p54el/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Σελίδα βιβλίου 80 ή ψηφιακά 90,
Πρόταση 1ε(61).

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Κατασκευή, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής.

Αγαπητοί φίλοι,
προτείνω για λύση την παρακάτω νέα Γεωμετρική Κατασκευή Α6:

Α6. Να γραφούν τρεις κύκλοι τεμνόμενοι ανά δύο και οι οποίοι να έχουν ομοκυκλικές τρεις από τις τομές τους με τα κέντρα των κύκλων.
Ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθούν τρεις κύκλοι τεμνόμενοι ανά δύο, τα κέντρα των οποίων βρίσκονται στις κορυφές δοσμένου τριγώνου και που οι τρεις τομές τους βρίσκονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του δοσμένου τριγώνου.
.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω κατασκευή, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μα ”:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Λύση του παρπάνω Προβλήμας Α6.

Αγαπητοί φίλοι,
Την λύση μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 1,
Σελίδα βιβλίου 61 ή ψηφιακά 91,
Πρόταση 1α(46).

Ή, πιο εύκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1lFIXI9 ... ht-B1/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Σελίδα βιβλίου 61 ή ψηφιακά 91,
Πρόταση 1α(46).

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Κατασκευή, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α7.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α7. Οι πλευρές του αντί-συμπληρωματικού τριγώνου, του διαγώνιου τριγώνου, κάθε πλήρους τετράπλευρου, τέμνουνται ισοτομικά από τις πλευρές του πλ. τετρ/ρου.


Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα Γεωμετρικής Κατασκευής.

Α6. Να γραφούν τρεις κύκλοι τεμνόμενοι ανά δύο και οι οποίοι να έχουν ομοκυκλικές τρεις από τις τομές τους με τα κέντρα των κύκλων.
Ή με άλλη διατύπωση:
Να κατασκευασθούν τρεις κύκλοι τεμνόμενοι ανά δύο, τα κέντρα των οποίων βρίσκονται στις κορυφές δοσμένου τριγώνου και που οι τρεις τομές τους βρίσκονται στον περιγεγραμμένο κύκλο του δοσμένου τριγώνου.
.

Αν και είχα ανακοινώσει ότι δεν θα αναρτώ πια λύσεις στο παρόν θρεντ, θα κάνω μία εξαίρεση:

Η προταθείσα λύση είναι ενδιαφέρουσα αλλά υπάρχει μία αφοπλιστικά απλή αντιμετώπιση, που είναι κρίμα να μην την δουν οι μαθητές μας. Δεν χρησιμοποιεί τις ιδιότητες του ορθοκέντρου όπως η προταθείσα, αλλά είναι προσιτή σε μαθητές Α' Γυμνασίου.

Ανάλυση: Συνδέουμε το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου με τις κορυφές του δοθέντος τριγώνου. Ονομάζουμε τις σημειωμένες επίκεντρες γωνίες (από δύο φορές η καθεμία γιατί βλέπουν ίσες χορδές). Είναι τότε

, και . Προσθέτουμε κατά μέλη οπότε

, και άρα . Αφαιρούμε την πρώτη από την τελευταία, οπότε

και όμοια ,

Σύνθεση: Δεν έχουμε παρά να λάβουμε γωνίες ως άνω. Εκεί που τέμνουν τον περίκυκλο, δίνουν (ως ίσες ανά ζεύγη χορδές) τις ζητούμενες ακτίνες. Οι λεπτομέρειες άμεσες. Ως επιπλέον κέρδος έχουμε π.χ. ότι η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου με κέντρο το είναι , και όμοια οι υπόλοιπες

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της παρπάνω Πρότασης Α7.

Αγαπητοί φίλοι,
Την απόδειξή μου θα βρείτε, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας
Βιβλίο Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας Τεύχος 2,
Σελίδα βιβλίου 51 ή διαδικτυακά 77,
Πρόταση 2α(37).

Ή, πιο εύκολα, αν πάτε στο σύνδεσμο:
https://drive.google.com/file/d/1jcl7aA ... kidAj/view
και στη συνέχεια ακολουθήσετε τη διαδρομή:
Σελίδα βιβλίου 171 ή ψηφιακά 195, εφαρμογή β3.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ όπως οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση Α8.

Αγαπητοί φίλοι της Γεωμετρίας,
προτείνω την παρακάτω Πρόταση:

Α8. Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια και μια πλευρά του ενός, είναι ίση με μια μη ομόλογη πλευρά του άλλου, τότε η κάθε μια από τις ίσες πλευρές τους, είναι μέση ανάλογος των δύο από τις υπόλοιπες μη ομόλογες πλευρές τους, ενώ ο λόγος των δύο τελευταίων πλευρών τους, είναι ίσος με τον λόγο των τετραγώνων του ζεύγους των υπολοίπων ομολόγων μη ίσων από τις πλευρές τους, και αντίστροφα.


Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά καλοπροαίρετα σχόλιά σας.

Δική μου αποόδειξη θα ακολουθήση σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1, για να αποφεύγονται παρεξηγήσεις..


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
“ Είμαστε, ο,τι αφήνουμε πίσω μας ” :
https://parmenides52.blogspot.com/2016/ ... nikos.html

[Mihalis_Lambrou]

Α8. Αν δύο τρίγωνα είναι όμοια και μια πλευρά του ενός, είναι ίση με μια μη ομόλογη πλευρά του άλλου, τότε η κάθε μια από τις ίσες πλευρές τους, είναι μέση ανάλογος των δύο από τις υπόλοιπες μη ομόλογες πλευρές τους, ενώ ο λόγος των δύο τελευταίων πλευρών τους, είναι ίσος με τον λόγο των τετραγώνων του ζεύγους των υπολοίπων ομολόγων μη ίσων από τις πλευρές τους, και αντίστροφα.

Είναι άμεσο. Θα το έβλεπα ως ένα μικρό βήμα σε κάποια απόδειξη και όχι ως Πρόταση.

Έχουμε , με . Δηλαδή .

H πρώτη ισότητα είναι αμέσως, εξ ορισμού, το πρώτο αποδεικτέο. Δεν έχουμε τίποτα να κάνουμε. Για το δεύτερο αποδεικτέο