Συνευθειακά και μέσο

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Συνευθειακά και μέσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Πέμ Απρ 16, 2015 6:11 pm

Καλησπέρα σε όλους! Μία άσκηση που ασχολήθηκα σήμερα. Ζητώ συγγνώμη αν είναι πολύ απλή ή ιδιαίτερα γνωστή.

Έστω τρίγωνο ABC, το ύψος AA' και έστω (I) ο εγγεγραμμένος κύκλος του. Αν E' το σημείο τομής της BC με τον A-παρεγγεγραμμένο, να αποδειχθεί ότι η E'I διέρχεται από το μέσο του AA'.

Μετά τις λύσεις, θα δώσω και την πηγή.


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3991
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συνευθειακά και μέσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Απρ 16, 2015 7:23 pm

raf616 έγραψε:Καλησπέρα σε όλους! Μία άσκηση που ασχολήθηκα σήμερα. Ζητώ συγγνώμη αν είναι πολύ απλή ή ιδιαίτερα γνωστή.Έστω τρίγωνο ABC, το ύψος AA' και έστω (I) ο εγγεγραμμένος κύκλος του. Αν E' το σημείο τομής της BC με τον A-παρεγγεγραμμένο, να αποδειχθεί ότι η E'I διέρχεται από το μέσο του AA'.
Μετά τις λύσεις, θα δώσω και την πηγή.
Αν D\equiv AI{{I}_{a}}\cap BC, με {{I}_{a}} το κέντρο του A- παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου \vartriangle ABC , τότε η δέσμη B.AID{{I}_{a}} είναι αρμονική (οι BI,B{{I}_{a}} είναι η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου \vartriangle ABD αντίστοιχα, άρα και η σειρά \left( A,I,D,{{I}_{a}} \right) είναι αρμονική, οπότε και η δέσμη {E}'.AID{{I}_{a}} και με {E}'{{I}_{a}}\parallel A{A}' (κάθετες στην ίδια ευθεία BC) προκύπτει ότι η {E}'I διέρχεται από το μέσο του A{A}' και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συνευθειακά και μέσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Πέμ Απρ 16, 2015 10:06 pm

prob.png
prob.png (9.77 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές
Έστω DK διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου του \triangle{ABC} (βλέπε σχήμα). Η εφαπτομένη B'C' αυτού του κύκλου στο σημείο K είναι παράλληλη της πλευράς BC. Το σημείο K είναι το σημείο επαφής, του παρεγγεγραμμένου στο τρίγωνο AB'C' κύκλου, με την πλευρά B'C'. Αφετέρου, το σημείο E' είναι το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου στο τρίγωνο ABC με την πλευρά BC. Τα τρίγωνα AB'C' και ABC είναι ομοιόθετα με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο A. Επομένως, τα σημεία A, K και E' ανήκουν στην ίδια ευθεία. Η ευθεία E'\,I διχοτομεί το DK. Εφόσον DK \parallel AA', τότε η ευθεία E'\,I θα διχοτομεί και το ύψος AA'.


raf616
Δημοσιεύσεις: 680
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 17, 2013 4:35 pm
Τοποθεσία: Μυτιλήνη

Re: Συνευθειακά και μέσο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από raf616 » Παρ Απρ 17, 2015 7:54 pm

Καλησπέρα. Όμορφες λύσεις! Η δική μου είναι αρκετά εκτενέστερη, αν βρω χρόνο θα την ανεβάσω. Η άσκηση είναι από το βιβλίο του Σπύρου Κανέλλου Ευκλείδια Γεωμετρία Β'-Γ' Λυκείου.


Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας

Ψυρούκης Ραφαήλ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8967
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συνευθειακά και μέσο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 19, 2015 8:02 pm

raf616 έγραψε:Καλησπέρα σε όλους! Μία άσκηση που ασχολήθηκα σήμερα. Ζητώ συγγνώμη αν είναι πολύ απλή ή ιδιαίτερα γνωστή.

Έστω τρίγωνο ABC, το ύψος AA' και έστω (I) ο εγγεγραμμένος κύκλος του. Αν E' το σημείο τομής της BC με τον A-παρεγγεγραμμένο, να αποδειχθεί ότι η E'I διέρχεται από το μέσο του AA'.

Μετά τις λύσεις, θα δώσω και την πηγή.
Καλησπέρα σε όλους.

Μία λύση με πολλές πράξεις(θα κόψω αρκετές)

Έστω b>C και M το σημείο τομής της E'I με την AA'. Φέρνω την MN//BC και τη διχοτόμο AF Τα σημεία A', F είναι συζυγή αρμονικά των D', E'(*)

\displaystyle{\frac{{FD'}}{{FE'}} = \frac{{A'D'}}{{A'E'}} = \frac{{MI}}{{ME'}}}

\displaystyle{FD' = FB - BD' = \frac{{ac}}{{b + c}} - \frac{{a + c - b}}{2} \Leftrightarrow } \boxed{FD' = \frac{{(b - c)(b + c - a)}}{{2(b + c)}}} (1)

\displaystyle{FE' = FC - E'C = \frac{{ab}}{{b + c}} - \frac{{a + c - b}}{2} \Leftrightarrow } \boxed{FE' = \frac{{(b - c)(b + c + a)}}{{2(b + c)}}} (2)
raf6 16.png
raf6 16.png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές
Άρα: \displaystyle{\frac{{b + c - a}}{{a + b + c}} = \frac{{MI}}{{ME'}} \Leftrightarrow \frac{{b + c - a}}{{2a}} = \frac{{MI}}{{IE'}} = \frac{{MN}}{{FE'}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(2)} }

\boxed{MN = \frac{{(b - c)(a + b + c)(b + c - a)}}{{4a(b + c)}}}

Αλλά, \displaystyle{\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{{MN}}{{A'F}}}. Αρκεί να δείξω ότι A'F=2MN. Είναι \displaystyle{A'F = BF - A'B = \frac{{ac}}{{b + c}} - A'B}

\displaystyle{A'B = \sqrt {{c^2} - {{(AA')}^2}} } και \displaystyle{{(AA')^2} = \frac{4}{{{a^2}}}\left( {\frac{{a + b + c}}{2}} \right)\left( {\frac{{a + b - c}}{2}} \right)\left( {\frac{{a - b + c}}{2}} \right)\left( {\frac{{b + c - a}}{2}} \right)}, απ' όπου μετά τις πράξεις

παίρνουμε \boxed{A'F = \frac{{(b - c)(a + b + c)(b + c - a)}}{{2a(b + c)}}} και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

(*) Όποιος θέλει την απόδειξη της αρμονικότητας των σημείων, μπορεί να μου το πει να την γράψω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης