Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Τρί Ιουν 16, 2015 1:27 am

incenters.png
incenters.png (15.47 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές
Στο τόξο AC του περιγεγραμμένου κύκλου (S) του τριγώνου ABC, που δεν περιέχει το σημείο B, θεωρούμε ένα σημείο E. Έστω I_{a} και I_{c} τα κέντρα των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AEB και CEB αντίστοιχα, και T_{b} το σημείο στο οποίο ο κύκλος (\omega) ο εγγεγραμμένος στη γωνία B του \triangle{ABC} εφάπτεται του κύκλου (S). Να αποδείξετε ότι τα σημεία I_{a}, I_{c}, E και T_{b} είναι ομοκυκλικά.


panos misiakos
Δημοσιεύσεις: 77
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 04, 2013 1:35 pm

Re: Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από panos misiakos » Τρί Ιουν 16, 2015 10:38 am

Θεωρούμε M,N τα μέσα των τόξων AB,AC και I το έγκεντρο του ABC.
Τότε \angle II_{A}E=\frac{\angle C}{2}+\frac{\angle B}{2} +\angle EMC και \angle II_{C}E=\frac{\angle C}{2}+\frac{\angle B}{2} +\angle ENB
Οπότε \angle II_{A}E+\angle II_{C}E=180 ,δηλαδή τα I,I_A,I_C,E είναι ομοκυκλικά.
Συνεπώς μένει να δείξουμε ότι \angle I_{A}T_{b}I_{C}=180-\angle I_{A}II_{C}=\frac{\angle C}{2}+\frac{\angle B}{2}=\frac{\angle AT_{b}C}{2}.
Επιπλέον παρατηρούμε ότι \angle AIT_{b}=\frac{\angle C}{2} +\angle ACT_{b}=\angle ICT_b . Ομοίως \angle IAT_b=\angle T_{b}IC.
Επομένως προκύπτει ότι AIT_b ~CIT_b. Επίσης \frac{AI_A}{I_{A}I}=\frac{{sin{\angle AME}}*{AM}}{{sin{\angle EMI}}*{IM}}=
\frac{sin{\angle AME}}{sin{\angle EMI}}=
\frac{{sin{\angle AME}}*{IN}}{{sin{\angle EMI}}*{CN}}=\frac{{sin{\angle ANE}}*{IN}}{{sin{\angle ENI}}*{CN}}=\frac{II_C}{I_{C}C}
Υποχρεωτικά λοιπόν θα έχουμε\angle AT_{b}I_A=\angle IT_{b}I_C και \angle ΙT_{b}I_A=\angle I_{C}T_{b}C και εύκολα προκύπτει \angle I_{A}T_{b}I_{C}=\frac{\angle AT_{b}C}{2} που είναι το ζητούμενο.
Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά.PNG
Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά.PNG (31.54 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές


Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Τρί Ιουν 16, 2015 2:55 pm

Και εδώ: viewtopic.php?f=112&t=35435&p=163362&hi ... ar#p163362
στην εργασία-pdf του Παναγιώτη πρόβλημα 5.


Στραγάλης Χρήστος
giannimani
Δημοσιεύσεις: 105
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 6:26 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Δύο έγκεντρα και δύο άλλα σημεία ομοκυκλικά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannimani » Τρί Ιουν 16, 2015 3:40 pm

incenters_sol.png
incenters_sol.png (24.04 KiB) Προβλήθηκε 485 φορές
Έστω K, L σημεία επαφής του κύκλου (\omega) με τις πλευρές BA, BC του \triangle{ABC} αντίστοιχα. Έστω επίσης C', A' τα σημεία τομής των ευθειών T_{b}K, T_{b}L με τον περιγεγραμμένο κύκλο (S) του \triangle{ABC}. Θεωρούμε την ομοιοθεσία κέντρου T_{b} με την οποία ο κύκλος (\omega) μετασχηματίζεται στον κύκλο (S). Τότε, με αυτή την ομοιοθεσία η ευθεία BC μετασχηματίζεται στην ευθεία \ell. Προφανώς, \ell \parallel BC και η \ell εφάπτεται του κύκλου (S) στο σημείο A'. Επομένως, το A' είναι το μέσο του τόξου BC. Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι το C' είναι το μέσο του τόξου BA.

Στη συνέχεια, \angle{A'BL}=\angle{A'T_{b}B} (εγγεγραμμένες γωνίες του κύκλου (S) που βαίνουν στα ίσα τόξα A'C, A'B αντίστοιχα). Επομένως, \triangle{BA'L} \sim \triangle{T_{b}A'B}. Ως εκ τούτου, \frac{BA'}{T_{b}A'}= \frac{BL}{T_{b}B}\; \;(1). Όμοια, \triangle{BC'K} \sim \triangle{T_{b}C'B}, οπότε \frac{BC'}{T_{b}C'}=\frac{BK}{T_{b}B}\;\; (2).

Αλλά, BL=BK \;\; (3) (ως εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου (\omega) που άγονται από το σημείο B).

Από τις (1) και (2) λόγω της (3) προκύπτει ότι \frac{BA'}{T_{b}A'}=\frac{BC'}{T_{b}C'} \;\; (4).

Όμως, λόγω γνωστής ιδιότητας του έγκεντρου τριγώνου, είναι A'B=A'C=A'I_{c} και C'B=C'A=C'I_{a}. Επομένως, λόγω αυτών των ισοτήτων η (4) γίνεται \frac{A'I_{c}}{A'T_{b}}=\frac{C'I_{a}}{C'T_{b}}, δηλαδή, τα τρίγωνα A'I_{c}T_{b} και C'I_{a}T_{b} είναι όμοια, εφόσον επιπλέον \angle{I_{c}A'T_{b}}= \angle{I_{a}C'T_{b}} (εγγεγραμμένες γωνίες του κύκλου (S) που βαίνουν στο ίδιο τόξο ET_{b}). Από την ομοιότητα αυτών των τριγώνων έχουμε ότι \frac{T_{b}A'}{T_{b}C'}=\frac{T_{b}I_{c}}{T_{b}I_{a}}=\frac{I_{c}A'}{I_{a}C'}.

Θεωρούμε τη σπειροειδή ομοιότητα κέντρου T_{b}, λόγου k= \frac{T_{b}A'}{T_{b}C'}, και γωνίας \phi = \angle{C'T_{b}A'}. Η ομοιότητα αυτή μετασχηματίζει το τρίγωνο T_{b}C'I_{a} στο τρίγωνο T_{b}A'I_{c}, οπότε οι ομόλογες πλευρές αυτών των τριγώνων σχηματίζουν γωνία \phi, δηλαδή, \phi=\angle{I_{a}T_{b}I_{c}}=\angle{I_{a}EI_{c}}. Από το τελευταίο προκύπτει ότι τα σημεία I_{a}, I_{c}, E και T_{b} είναι ομοκυκλικά.

Σημείωση: Το πρόβλημα αυτό το πήρα από το βιβλίο του Ακοπιάν "Γεωμετρία με Σχήματα". Στο τέλος αυτού του βιβλίου αναφέρεται ότι το συγκεκριμένο πρόβλημα τέθηκε στην Εθνική Μαθηματική Ολυμπιάδα του Ιράν το 1997, στον τέταρτο γύρο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης