ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟΥ-ΣΗΜΕΙΟΥ LEMOINE

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Πιστεύω ότι δε γίνομαι κουραστικός , οι συμμετροδιάμεσοι τριγώνου και το κοινό τους σημείο εξακολουθούν να με απασχολούν , νομίζω ότι αξίζει τον κόπο...
Θέλω να σας προτείνω το πρώτο άλυτο θέμα από την '' Τριγωνομετρία '' του Ιωάννη Πανάκη , τόμος δεύτερος , σελίδα 123.

Αν

το σημείο Lemoine τριγώνου ABC

και

το περίκεντρό του , αποδείξτε ότι

$\displaystyle OL^{2}=R^{2}-\frac{3a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(a^{2} +b^{2}+c^{2}\right)^{2}}$

#2

Ας θυμηθούμε το

Θεώρημα Euler:

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ με ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου $\displaystyle{R}$ , εμβαδόν $\displaystyle{E}$ και $\displaystyle{P}$ σημείο στο εσωτερικό του. Αν $\displaystyle{KLM}$ είναι το ποδικό του $\displaystyle{P,}$ ισχύει

$\displaystyle{(KLM)=\frac{(R^2-OP^2)E}{4R^2}}$

Σύμφωνα με αυτό, αρκεί να υπολογιστεί το εμβαδόν του ποδικού του σημείου Lemoine.

Είναι (με τον συμβολισμό του σχήματος)

$\displaystyle{(A_1B_1C_1)=(A_1B_1L)+(B_1C_1L)+(C_1A_1L)=\sum \frac{1}{2}LA_1LB_1\sin A_1LB_1=\sum \frac{4E^2}{(a^2+b^2+c^2)^2}ab\sin C=\frac{12E^3}{(a^2+b^2+c^2)^2}}$ .

Έγινε χρήση των:

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\sin A_1LB_1=\sin C}$ κτλ. (προφανές).

$\displaystyle{\bullet}$ $\displaystyle{\frac{LA_1}{a}=\frac{LB_1}{b}=\frac{LC_1}{c}}$ από όπου προκύπτει εύκολα

$\displaystyle{LA_1=\frac{2E}{a^2+b^2+c^2}a}$ κτλ.

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Πιστεύω ότι δε γίνομαι κουραστικός , οι συμμετροδιάμεσοι τριγώνου και το κοινό τους σημείο εξακολουθούν να με απασχολούν , νομίζω ότι αξίζει τον κόπο...
Θέλω να σας προτείνω το πρώτο άλυτο θέμα από την '' Τριγωνομετρία '' του Ιωάννη Πανάκη , τόμος δεύτερος , σελίδα 123.

Αν το σημείο Lemoine τριγώνου και το περίκεντρό του , αποδείξτε ότι

$\displaystyle OL^{2}=R^{2}-\frac{3a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(a^{2} +b^{2}+c^{2}\right)^{2}}$

Καλημέρα.

H

τέμνει την

στο

και τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

, ενώ η

τέμνει τον κύκλο στα M, N

και έστω

η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά

του τριγώνου.

Θεωρείται γνωστό ότι: $\boxed{BD = \frac{{a{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}},DC = \frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}}$ (1)

και $\boxed{AD = \frac{{2bc{m_a}}}{{{b^2} + {c^2}}}}$ (2)

: Lemoine...png (12.17 KiB) Προβλήθηκε 1889 φορές

$\displaystyle{AD \cdot DE = BD \cdot DC\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1),(2)} }$ $\boxed{DE = \frac{{{a^2}bc}}{{2{m_a}({b^2} + {c^2})}}}$ (3)

$\displaystyle{ML \cdot LN = AL \cdot LE \Leftrightarrow }$ $\boxed{{R^2} - O{L^2} = AL \cdot LE}$ (4)

Είναι ακόμα: $\displaystyle{\frac{{AL}}{{LD}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{{AL}}{{AD}} = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} AL = \frac{{2bc{m_a}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}$ , οπότε $\displaystyle{LE = \frac{{3{a^2}bc}}{{2({a^2}+{b^2} + {c^2}){m_a}}}}$ ( χρησιμοποιήθηκε η σχέση 4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2

)

Από τις δύο παραπάνω σχέσεις και την

, προκύπτει ότι $\boxed{ OL^{2}=R^{2}-\frac{3a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(a^{2} +b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Βρήκα χρόνο να γράψω τις σκέψεις που έκανα βλέποντας το θέμα . Το μυαλό μου πήγε στο παρακάτω
viewtopic.php?f=134&t=40768&p=190141&hi ... B7#p190141
Σκέφτηκα: '' Τι βαρύκεντρο , τι σημείο Lemoine , παρόμοιες σκέψεις... ''
Η ιδέα μου μοιάζει με τη λύση του Γιώργου Βισβίκη , μόνο που σε αυτήν δεν υπάρχει η ευθεία OL.

Θα γράψω τη λύση μου αναφερόμενος στο σχήμα του Γιώργου.

Θα θεωρήσω γνωστά τα εξής:

$\displaystyle BD = \frac{{a{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} ,\displaystyle DC = \frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}}$ , $\displaystyle AD = \frac{{2bc{m_a}}}{{{b^2} + {c^2}}}$

$\displaystyle AL=\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}AD$ , $\displaystyle LD=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}AD$

και φυσικά $AD\cdot DE=BD\cdot DC$

Έχω λοιπόν τα εξής:

$\displaystyle AL\cdot LE=AL\cdot \left(LD+DE \right)=\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}AD\left(\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}AD+DE \right)=$

$\displaystyle\frac{\left(b^{2}+c^{2} \right)a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2}}\cdot \frac{4b^{2}c^{2}}{\left(b^{2}+c^{2} \right)^{2}}m_{a}^{2}+\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}BD\cdot DC=$

$\displaystyle \frac{\left(b^{2}+c^{2} \right)a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2}}\cdot \frac{4b^{2}c^{2}}{\left(b^{2}+c^{2} \right)^{2}}m_{a}^{2}+\frac{b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\frac{{a{c^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} \cdot\frac{{a{b^2}}}{{{b^2} + {c^2}}} =$

$\displaystyle \frac{a^{2}b^{2}c^{2}4m_{a}^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2}\left(b^{2}+c^{2} \right)}+\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)\left(b^{2}+c^{2} \right)}=$

$\displaystyle \frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(b^{2}+c^{2} \right)\left(a^{2} +b^{2}+c^{2}\right)}\left(\frac{4m_{a}^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+1 \right)=$

$\displaystyle\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)\left(b^{2}+c^{2} \right)}\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=$

$\displaystyle\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)\left(b^{2}+c^{2} \right)}\frac{3\left(b^{2}+c^{2} \right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=$

$\displaystyle \frac{3a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)^{2}}$

Από εδώ το συμπέρασμα είναι πλέον προφανές...

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

Κάτι που μου αρέσει πολύ είναι όταν μια πασίγνωστη ή έστω λιγότερο γνωστή ανισότητα προκύπτει από την απόσταση δύο γεωμετρικών αντικειμένων.
Από την παραπάνω απόσταση προκύπτει πολύ εύκολα η ανισότητα $Weitzenb\ddot{o}ck$ , το δεύτερο θέμα της ΙΜΟ 1961.

Ισχύει ότι

$\displaystyle OL^{2}\geq 0\Leftrightarrow R^{2}-\frac{3a^{2}b^{2}c^{2}}{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}\geq 0\Leftrightarrow \left (a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}R^{2}-3a^{2}b^{2}c^{2}\geq 0\Leftrightarrow$

$\left (a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}R^{2}\geq 3a^{2}b^{2}c^{2} \Leftrightarrow \left (a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}R^{2}\geq 3(abc)^{2} \Leftrightarrow$

$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}R^{2}\geq 3 (4ER)^{2}\Leftrightarrow$

$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}R^{2}\geq 3\cdot 16E^{2}R^{2}\Leftrightarrow$

$\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}\geq 3\cdot 16E^{2}\Leftrightarrow$

$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 4 \sqrt{3}E$

H ανισότητα $Weitzenb\ddot{o}ck$ εκφράζει μια χειροπιαστή κατάσταση...

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟΥ-ΣΗΜΕΙΟΥ LEMOINE

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟΥ-ΣΗΜΕΙΟΥ LEMOINE

Re: ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟΥ-ΣΗΜΕΙΟΥ LEMOINE

Re: ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟΥ-ΣΗΜΕΙΟΥ LEMOINE

Re: ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟΥ-ΣΗΜΕΙΟΥ LEMOINE

Re: ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΕΡΙΚΕΝΤΡΟΥ-ΣΗΜΕΙΟΥ LEMOINE

Μέλη σε σύνδεση