Κυκλομαχίες

Al.Koutsouridis · #1

Δίνονται δυο ομόκεντροι κύκλοι. Καθέ ένας από τους κύκλους $b_{1}$ και $b_{2}$ εφάπτεται εξωτερικά του ενός κύκλου και εσωτερικά του άλλου. Και καθέ ένας από τους κύκλους $c_{1}$ και $c_{2}$ εφάπτεται εσωτερικά και στους δύο κύκλους. Να αποδείξετε ότι, τα 8 σημεία, στα οποία οι κύκλοι $b_{1}, b_{2}$ τέμνουν τους $c_{1}, c_{2}$ βρίσκονται σε δυο κύκλους, διαφορετικούς από τους $b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}$ .(Μερικοί από αυτούς τους κύκλους μπορεί να εκφυλίζονται σε ευθεία).

Πηγή: Πανρωσική Ολυμπιάδα Γεωμετρίας 2007, 10η Τάξη.

panos misiakos · #2

Έστω

οι δύο ομόκεντροι κύκλοι. Έστω A,B

τα σημεία επαφής του b_1

με τους

,

τα σημεία επαφής του b_2

με τους

,

τα σημεία επαφής του c_1

με τους

και

τα σημεία επαφής του c_2

με τους

.
Θα δείξουμε αρχικά το ακόλουθο λήμμα
Λήμμα (Κυκλομάχου): Το $P \equiv AE \cap BF$ ανήκει στον b_1

.
Λύση : Ορίζουμε O(C)

το κέντρο του κύκλου

. Τότε $\angle PAB = \angle O(a_1) AE=\angle O(a_1) EA=\angle FEA$ και $\angle O(a_1) BP=\angle O(a_1) FP$
Συνεπώς $\Bigtriangleup EFP=\Bigtriangleup ABP$ και $\angle EPF=\angle EPB=90$ . Οπότε $P \in b_1$ .

Επανερχόμενοι στην αρχική άσκηση ονοματίζουμε τα στρατηγικά σημεία ως εξής

το σημείο τομής των κύκλων b_1,c_1

, που είναι διαφορετικό του

.

to σημείο τομής των AG,BH

που ανήκει ,λόγω του λήμματος στους c_2,b_1

και

το άλλο σημείο τομής τους.
Ομοίως ορίζουμε τα R,R',S,S'

στον

έτσι ώστε $R \in c_1$ , $S \in c_2$ .

: polemiko tagma kuklwn.PNG (45.76 KiB) Προβλήθηκε 730 φορές

Για να αποδείξουμε το ζητούμενο θα δείξουμε συγκεκριμένα ότι οι τετράδες σημείων P,Q',R',S

και

ορίζουν εγγράψιμα τετράπλευρα.
Παραθέτουμε την απόδειξη για τα P,Q',R',S

καθώς η άλλη είναι εντελώς όμοια.
Αρκεί να δείξουμε $\angle SR'P=\angle PQ'S \Leftrightarrow \angle SR'R +\angle RR'P= \angle SQ'Q +\angle QQ'P$ .
'Ομως $\angle SR'R=\angle SCR=\angle ECG=\angle EAG=\angle QAP =\angle QQ'P$
και $\angle RR'P=\angle REP=\angle SGQ=\angle SQ'Q$ , οπότε παίρνουμε το ζητούμενο.

Κυκλομαχίες

Κυκλομαχίες

Re: Κυκλομαχίες

Μέλη σε σύνδεση