Παραλληλόγραμμο!
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- Κώστας Παππέλης
- Δημοσιεύσεις: 261
- Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Παραλληλόγραμμο!
Μπορεί να έχω σκουριάσει πια στα Μαθηματικά, αλλά όχι τόσο ώστε να μην απολαμβάνω τις κατασκευές!
Έστω παραλληλόγραμμο και ένα σημείο στο εσωτερικό του ώστε . Έστω ένα ακόμη σημείο στο εσωτερικό του ώστε και . Να αποδειχθεί ότι το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της .
Έστω παραλληλόγραμμο και ένα σημείο στο εσωτερικό του ώστε . Έστω ένα ακόμη σημείο στο εσωτερικό του ώστε και . Να αποδειχθεί ότι το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της .
τελευταία επεξεργασία από Κώστας Παππέλης σε Πέμ Ιαν 21, 2016 1:12 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Κώστας Παππέλης
- Δημοσιεύσεις: 261
- Εγγραφή: Παρ Ιούλ 24, 2009 4:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παραλληλόγραμμο!
Επαναφέρω με μία βοήθεια, έκανα μια επεξεργασία και στα γράμματα (γιατί έδωσα λάθος βοήθεια στην αρχή):
Θεωρούμε στο ημιεπίπεδο που ορίζει η και δε βρίσκονται οι άλλες δύο κορυφές σημείο ώστε
Θεωρούμε στο ημιεπίπεδο που ορίζει η και δε βρίσκονται οι άλλες δύο κορυφές σημείο ώστε
Re: Παραλληλόγραμμο!
Μία προσέγγιση με την υπόδειξη που δόθηκε:Κώστας Παππέλης έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 10, 2016 6:12 pmΈστω παραλληλόγραμμο και ένα σημείο στο εσωτερικό του ώστε . Έστω ένα ακόμη σημείο στο εσωτερικό του ώστε και . Να αποδειχθεί ότι το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της .
Εφόσον ισχύει άρα και από το παραλληλόγραμμο τα τετράπλευραΚώστας Παππέλης έγραψε: ↑Πέμ Ιαν 21, 2016 1:07 amΘεωρούμε στο ημιεπίπεδο που ορίζει η και δε βρίσκονται οι άλλες δύο κορυφές σημείο ώστε
και είναι παραλληλόγραμμα.
Επομένως και .
Άρα η σχέση μπορεί να γραφτεί ως:
Συνεπώς, από το αντίστροφο του θεωρήματος λαμβάνουμε ότι το τετράπλευρο είναι περιγγράψιμο, δηλαδή υπάρχει κύκλος τέτοιος ώστε να εφάπτεται και στις πλευρές του.
Είναι άρα .
Υποθέσαμε ότι το είναι τέτοιο ώστε Άρα πρέπει και
δηλαδή το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας
Παρόμοια, εφόσον ισχύει .
Όμως , άρα .
Έτσι, το ανήκει και στη διχοτόμο της γωνίας .
Συνεπώς το σημείο είναι το σημείο τομής διχοτόμων του περιγγράψιμου τετραπλεύρου
άρα το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του.
Επομένως το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας
Ματθαίος Κουκλέρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες