Αντίστροφο λήμματος Haruki

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA145 Haruki inverse.png (27.53 KiB) Προβλήθηκε 774 φορές

Χαιρετώ,

παλεύοντας αυτή έδωσα μια λύση χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του λήμματος Haruki :

Εστω κύκλος και δύο μη τεμνόμενες χορδές του και σημείο του τόξου (που δεν περιέχει τα ).

Εστω επίσης $E=PC \cap AB, F=PD \cap AB$ .

Αν για τα σημεία της ισχύει $\dfrac{AS\cdot TB}{ST}=\dfrac{AE \cdot FB}{EF}$ , τότε οι τέμνονται σε σημείο που ανήκει στον κύκλο

για το οποίο δεν έχω απόδειξη.

Μπορείτε να βοηθήσετε ?

#2

Σάκη, καλησπέρα.

Το κοίταξα μετά την πρωϊνή τηλεφωνική επικοινωνία μας και είναι εύκολο τελικά να αποδειχθεί αυτό το ζητούμενο.

Το αφήνω για όσους δεν έχουν ξαναδεί το Λήμμα Haruki και επανέρχομαι αν δεν απαντηθεί.

Κώστας Βήττας.

#3

sakis1963 έγραψε: Εστω κύκλος και δύο μη τεμνόμενες χορδές του και σημείο του τόξου ( που δεν περιέχει τα $C,\ D$ ). Εστω επίσης $E = PC \cap AB,\ F=PD \cap AB$ . Αν για τα σημεία $S,\ T$ της ισχύει $\dfrac{AS\cdot TB}{ST} = \dfrac{AE \cdot FB}{EF}\ \ \ ,(1)$ τότε οι $CS,\ DT$ τέμνονται σε σημείο , που ανήκει στον κύκλο.

$\bullet$ Ορίζουμε το σημείο

, ως το σημείο τομής του κύκλου (O)

από την ευθεία

και έστω το σημείο $S'\equiv AB\cap QC$ .

Σύμφωνα με το Λήμμα Haruki ισχύει $\displaystyle \frac{AS'\cdot TB}{S'T} = \frac{AE\cdot FB}{EF}\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{AS'\cdot TB}{S'T} = \frac{AS\cdot TB}{ST}\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{AS'}{S'T} = \frac{AS}{ST}\ \ \ ,(3)$

Από $(3)\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{AS' + S'T}{S'T} = \frac{AS + ST}{ST}\Rightarrow$ $\boxed{S'\equiv S}$ και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Αντίστροφο λήμματος Haruki

Αντίστροφο λήμματος Haruki

Re: Αντίστροφο λήμματος Haruki

Re: Αντίστροφο λήμματος Haruki

Μέλη σε σύνδεση