Πολικός καύσωνας

KARKAR · #1

: Πολικός καύσωνας.png (19.26 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Χορδή

κινείται παραμένοντας κάθετη προς τη διάμετρο

. Από το μέσο της

,

φέρω κάθετη προς την

, η οποία τέμνει τον κύκλο στο

. Η κάθετη από το

προς την

τέμνει τη

στο

. α) Δείξτε ότι τα S,Q,P

είναι συνευθειακά .

β) Δείξτε ότι (APM)=(SPM)

.. γ) Υπολογίστε το μέγιστο του

#2

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Πολικός καύσωνας.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Χορδή κινείται παραμένοντας κάθετη προς τη διάμετρο . Από το μέσο της ,

φέρω κάθετη προς την , η οποία τέμνει τον κύκλο στο . Η κάθετη από το

προς την τέμνει τη στο . α) Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

β) Δείξτε ότι .. γ) Υπολογίστε το μέγιστο του

Για τα δύο πρώτα ερωτήματα.

: Πολικός καύσωνας.png (19.14 KiB) Προβλήθηκε 523 φορές

α) $\displaystyle{{\omega _1} = {\omega _2}}$ (οξείες με πλευρές κάθετες). Αλλά, $\displaystyle{{\omega _2} = {\omega _3} = B\widehat SP}$ και $\displaystyle{{\omega _1} = M\widehat PQ}$ (από το εγγράψιμο MQPN

). Άρα: $\boxed{B\widehat SP = M\widehat PQ}$

Είναι όμως BS||MP

(είναι κάθετες στην

), οπότε $\displaystyle{B\widehat SP = M\widehat PS = M\widehat PQ}$ , δηλαδή τα σημεία S,Q,P

είναι συνευθειακά .

β) Αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle{AM \cdot AP = PM \cdot PS \Leftrightarrow \frac{{AM}}{{PM}} = \frac{{PS}}{{AP}} \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{PM}} = \frac{{PS}}{{AP}}}$ , που ισχύει αφού τα τρίγωνα

PSA, PBM

είναι όμοια ( $\displaystyle{A\widehat SP = P\widehat BA,B\widehat MP = M\widehat BS = A\widehat BS = A\widehat PS}$ ).

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Πολικός καύσωνας.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Χορδή κινείται παραμένοντας κάθετη προς τη διάμετρο . Από το μέσο της ,

φέρω κάθετη προς την , η οποία τέμνει τον κύκλο στο . Η κάθετη από το

προς την τέμνει τη στο . α) Δείξτε ότι τα είναι συνευθειακά .

β) Δείξτε ότι .. γ) Υπολογίστε το μέγιστο του

: Πολικός καύσωνας.png (27.4 KiB) Προβλήθηκε 487 φορές

Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ του

στις $AP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MP$ αντίστοιχα. Επειδή $ML \bot NB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SB \bot NB$ θα είναι ML//NB

κατά συνέπεια λόγω του Θ. Θαλή θα ισχύει: $\dfrac{{NL}}{{LB}} = \dfrac{{NM}}{{MS}}\,\,(1)$ .

Επειδή όμως τα $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ βλέπουν την

υπό ίσες ( $90^\circ$ ) γωνίες , το τετράπλευρο KLPN

είναι εγγράψιμο . Θα έχουμε έτσι ,

$\widehat {NPK} = \widehat {NLK}$ , αλλά $\widehat {NPK} = \widehat {NBA}$ ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο , οπότε $\widehat {NLK} = \widehat {NBA} \Leftrightarrow KL//AB$

Πάλι από το Θ. Θαλή θα έχουμε , $\dfrac{{NL}}{{LB}} = \dfrac{{NK}}{{KQ}}\,\,\,(2)$ . Από τις $(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2)$ έχουμε : $\dfrac{{NM}}{{MS}} = \dfrac{{NK}}{{KQ}}$ και άρα $\boxed{MK//SQ}\,\,(3)$

Από την άλλη μεριά αγνοώντας το

, επειδή το τετράπλευρο AMKN

είναι εγγράψιμο ( τα $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ βλέπουν την

υπό ίσες γωνίες ( $90^\circ$ )) θα είναι $\widehat {PSN} = \widehat {PAN} = \widehat {KAN} = \widehat {KMN}$ ,

οπότε $\boxed{SP//MK}\,\,(4)$

Λόγω δε του Ευκλείδειου αιτήματος και των $(3)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(4)\,\,$ προκύπτει ότι τα σημεία P,Q,S

ανήκουν στην ίδια ευθεία ( την από το

παράλληλη στην

)

Τώρα για το δεύτερο ερώτημα: $(PAM) = (PBM)\,\,$ γιατί η

διάμεσος του τριγώνου $\vartriangle PAB$ , αλλά και (PBM) = (PSM)

γιατί

και το ζητούμενο εμφανές.

Το μέγιστο του τμήματος

θα το ψάξω και βλέπουμε.

Φιλικά Νίκος

Πολικός καύσωνας

Πολικός καύσωνας

Re: Πολικός καύσωνας

Re: Πολικός καύσωνας

Μέλη σε σύνδεση