Γωνία 45 μοιρών
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
Γωνία 45 μοιρών
ακόμα μία άσκηση από το βιβλίο
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
Χαράλαμπος Στεργίου-Σιλουανός Μπραζιτίκος
άσκηση
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με
Τα σημεία Μ,Ν βρίσκονται στη ΒΓ τέτοια ώστε το Ν να είναι μεταξύ των Μ,Γ.
Αν ισχύει , να αποδείξετε ότι
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
Χαράλαμπος Στεργίου-Σιλουανός Μπραζιτίκος
άσκηση
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με
Τα σημεία Μ,Ν βρίσκονται στη ΒΓ τέτοια ώστε το Ν να είναι μεταξύ των Μ,Γ.
Αν ισχύει , να αποδείξετε ότι
Φωτεινή Καλδή
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Γωνία 45 μοιρών
Μία γεωμετρική λύση στο πρόβλημα του Μπάμπη και του Σιλουανού:
Έστω Μ, Ν σημεία στη ΒΓ (Ν μεταξύ Μ, Γ), ώστε:
Φέρνουμε τις προβολές ΜΔ, ΝΕ στην ΑΒ και ΜΗ, ΝΖ στην ΑΓ. Έστω Τ τομή των ΝΕ, ΜΤ.
Το ΜΝΤ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με ΜΤ = ΝΤ = z.
Έστω: άρα , οπότε .
Τότε, από Πυθαγόρειο Θέωρημα, ΑΤ = z, άρα τα ΑΤΜ και ΑΤΝ είναι ισοσκελή.
Έστω ,
Είναι:
Γιώργος Ρίζος
Έστω Μ, Ν σημεία στη ΒΓ (Ν μεταξύ Μ, Γ), ώστε:
Φέρνουμε τις προβολές ΜΔ, ΝΕ στην ΑΒ και ΜΗ, ΝΖ στην ΑΓ. Έστω Τ τομή των ΝΕ, ΜΤ.
Το ΜΝΤ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με ΜΤ = ΝΤ = z.
Έστω: άρα , οπότε .
Τότε, από Πυθαγόρειο Θέωρημα, ΑΤ = z, άρα τα ΑΤΜ και ΑΤΝ είναι ισοσκελή.
Έστω ,
Είναι:
Γιώργος Ρίζος
Re: Γωνία 45 μοιρών
Ευχαριστούμε πολύ για την ωραία (πρωτοεμφανιζόμενη σε μένα) απόδειξη. Η αλήθεια είναι ότι σε αυτή την άσκηση είχαμε 3-4 λύσεις. Τελικά βάλαμε 2 από αυτές στο βιβλίο. Μία από αυτές είναι γεωμετρική και η άλλη κάνει χρήση τριγωνομετρίας.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Γωνία 45 μοιρών
Το δουλεψα και με Αναλυτικη: αν ΑΒ = ΑΓ = s και Μ = (x, s-x), τοτε Ν = , κλπ
[Εξασκηση στο LATEX ... ή μαλλον στο LYX ]
Γιωργος Μπαλογλου
[Εξασκηση στο LATEX ... ή μαλλον στο LYX ]
Γιωργος Μπαλογλου
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
- Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
Re: Γωνία 45 μοιρών
Καλό βράδυ από τη Ρόδο, όπου είχα τη χαρά να τα πούμε (και να γλεντήσουμε) με τον Αλέξανδρο.
Μία άλλη λύση:
Στρέφουμε το τρίγωνο ΑΝΓ κατά ορθή γωνία, στη θέση ΑΚΒ (η ΑΓ απεικονίζεται στην ΑΒ και η ΓΝ στην ΒΚ). Από το πυθαγόρειο Θεώρημα στο ΜΚΒ, την ισότητα ΓΝ=ΒΚ και τη δοσμένη σχέση, προκύπτει ότι ΜΚ=ΜΝ. Επομένως τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑΜΚ είναι ίσα, δηλαδή η ΑΜ διχοτομεί την γωνία ΝΑΚ.
Μία άλλη λύση:
Στρέφουμε το τρίγωνο ΑΝΓ κατά ορθή γωνία, στη θέση ΑΚΒ (η ΑΓ απεικονίζεται στην ΑΒ και η ΓΝ στην ΒΚ). Από το πυθαγόρειο Θεώρημα στο ΜΚΒ, την ισότητα ΓΝ=ΒΚ και τη δοσμένη σχέση, προκύπτει ότι ΜΚ=ΜΝ. Επομένως τα τρίγωνα ΑΜΝ και ΑΜΚ είναι ίσα, δηλαδή η ΑΜ διχοτομεί την γωνία ΝΑΚ.
Re: Γωνία 45 μοιρών
Αυτή είναι η γεωμετρική λύση στην οποία αναφερόμουνα από το βιβλίο !!!!
Πολύ ωραία κ.Βαρβεράκη !!
Πολύ ωραία κ.Βαρβεράκη !!
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Γωνία 45 μοιρών
Δια του σημείου φέρνουμε την κάθετη ευθεία επί την η οποία τέμνει τον κύκλο με κέντρο το και ακτίνα στο σημείο έστω
Η κάθετη ευθεία από το επί την χορδή του τέμνει την πλευρά του δοσμένου ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου στο σημείο έστω και θα αποδείξουμε ότι
Οι ευθείες είναι οι μεσοκάθετες των αντιστοίχως και έτσι έχουμε ότι και καθώς επίσης και ότι το τριγωνο είναι ορθογώνιο στο σημείο γιατί .
Στο ορθογώνιο λοιπόν τρίγωνο έχουμε ότι
Από τα δεδομένα όμως του προβλήματος, ισχύει ότι
Από
Είναι εύκολο τώρα να δούμε ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΣΧΟΛΙΟ : - Αν δύο τυχαίες ημιευθείες τέτοιες ώστε τέμνουν την ευθεία στα σημεία έστω αντιστοίχως ( όχι απαραίτητα μεταξύ των ), ισχύει πάντοτε η
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Η όμορφη απόδειξη που μας έδωσε πιο πάνω ο Ανδρέας και υπάρχει στο βιβλίο των Μπάμπη - Σιλουανού, είναι αυτή που υπάρχει και στο Βιβλίο που έλεγε ο Erdos, όπως σχετικά μας το αναφέρει ο Δημήτρης ( Demetres ) κάπου αλλού.
Η κάθετη ευθεία από το επί την χορδή του τέμνει την πλευρά του δοσμένου ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου στο σημείο έστω και θα αποδείξουμε ότι
Οι ευθείες είναι οι μεσοκάθετες των αντιστοίχως και έτσι έχουμε ότι και καθώς επίσης και ότι το τριγωνο είναι ορθογώνιο στο σημείο γιατί .
Στο ορθογώνιο λοιπόν τρίγωνο έχουμε ότι
Από τα δεδομένα όμως του προβλήματος, ισχύει ότι
Από
Είναι εύκολο τώρα να δούμε ότι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΣΧΟΛΙΟ : - Αν δύο τυχαίες ημιευθείες τέτοιες ώστε τέμνουν την ευθεία στα σημεία έστω αντιστοίχως ( όχι απαραίτητα μεταξύ των ), ισχύει πάντοτε η
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Η όμορφη απόδειξη που μας έδωσε πιο πάνω ο Ανδρέας και υπάρχει στο βιβλίο των Μπάμπη - Σιλουανού, είναι αυτή που υπάρχει και στο Βιβλίο που έλεγε ο Erdos, όπως σχετικά μας το αναφέρει ο Δημήτρης ( Demetres ) κάπου αλλού.
- Συνημμένα
-
- f=50_t=5534.pdf
- Γωνία 45 μοιρών.
- (4.89 KiB) Μεταφορτώθηκε 73 φορές
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Γωνία 45 μοιρών
Χαιρετώ όλους ! Ωραίο το παρόν θέμα και εξαιρετικές οι λύσεις που έχουν δοθεί .
Για την ποικιλία ας δούμε μια ακόμη προσέγγιση (*) με χρήση του σχήματος : Έστω το μέσον της και το τετράγωνο .
Ισχύει ..
Από τα όμοια τρίγωνα :
Αρκεί σύμφωνα με το Κριτήριο 45άρας να δείξουμε ότι
δηλ. αρκεί που είναι ισοδύναμη με την συνεπώς ισχύει. Άρα οπότε
(*) Η παραπάνω λύση στηρίζεται και στην συνδρομή του Αλέξανδρου Τριανταφυλλάκη (Altrian)
με τη λύση του στο θέμα τούτο Υποθέτω ..... ότι ο Αλέξανδρος είναι και ηλικιακά νέο αίμα προς όφελος των Γεωμετρών και όχι μόνο..
Φιλικά Γιώργος.
Για την ποικιλία ας δούμε μια ακόμη προσέγγιση (*) με χρήση του σχήματος : Έστω το μέσον της και το τετράγωνο .
Ισχύει ..
Από τα όμοια τρίγωνα :
Αρκεί σύμφωνα με το Κριτήριο 45άρας να δείξουμε ότι
δηλ. αρκεί που είναι ισοδύναμη με την συνεπώς ισχύει. Άρα οπότε
(*) Η παραπάνω λύση στηρίζεται και στην συνδρομή του Αλέξανδρου Τριανταφυλλάκη (Altrian)
με τη λύση του στο θέμα τούτο Υποθέτω ..... ότι ο Αλέξανδρος είναι και ηλικιακά νέο αίμα προς όφελος των Γεωμετρών και όχι μόνο..
Φιλικά Γιώργος.
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Γωνία 45 μοιρών
Με ν.συνημιτόνου στα τρίγωνα έχουμε αντίστοιχα
και και
Απ αυτές και με δεδομένο ότι εύκολα έχουμε
Έτσι,
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες