Βρείτε τη γωνία χ (7)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία χ (7)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Μάιος 22, 2010 4:27 pm

Δίνεται \Delta \widehat{\rm B}\Gamma  = \Delta \widehat\Gamma {\rm B} = {6^ \circ }, {\rm A}\widehat{\rm B}\Delta  = {12^ \circ } και {\rm A}\widehat\Gamma \Delta  = {18^ \circ }. Βρείτε τη γωνία {\rm B}\widehat{\rm A}\Delta  = x.
χ7.jpg
χ7.jpg (111.75 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιούλ 24, 2010 1:50 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε τη γωνία χ (7)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Σάβ Μάιος 22, 2010 11:58 pm

\hat{DAC}=y,\,\,\,x+y=138^o

\displaystyle{\triangle ADB\longrightarrow \frac{BD}{\sin x}=\frac{AD}{\sin 12}\longrightarrow \frac{BD}{AD}=\frac{\sin x}{\sin 12} },\fbox 1

\displaystyle{\triangle ADC\longrightarrow \frac{CD}{\sin y}=\frac{AD}{\sin 18}\longrightarrow \frac{CD}{AD}=\frac{\sin y}{\sin 18}=\frac{\sin(138-x)}{\sin 18} },\fbox 2

\displaystyle{\fbox 1,\,\,\,\fbox 2 \longrightarrow \frac{\sin x}{\sin 12}=\frac{\sin(138-x)}{\sin 18} \longrightarrow \dots}

πράξεις δεν έχω κάνει,(αν και θέλουν πολύ υπομονή θα κάνω μία προσπάθεια)

(Μιχάλη,μία μύγα τρέχει κάτω από το ''ruxumuxu'')


Φωτεινή Καλδή
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (7)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Μάιος 24, 2010 2:08 pm

Καλησπέρα.
Να δώσω μια γεωμετρική λύση ελπίζοντας να ολοκληρωθεί η τριγωνομετρική λύση που ξεκίνησε η Φωτεινή.

Το τρίγωνο ΔΒΓ είναι ισοσκελές (\Delta \widehat{\rm B}\Gamma  = \Delta \widehat\Gamma {\rm B} = {6^ \circ }), άρα ΔΒ = ΔΓ. Με κέντρο Δ και ακτίνα ΔΒ σχεδιάζω κύκλο που προφανώς θα περνά απ’ το σημείο Γ. Προεκτείνω την ΒΑ και έστω Ε το σημείο τομής με τον κύκλο (Δ, ΔΒ). Το τρίγωνο ΔΒΕ είναι ισοσκελές (ΔΒ = ΔΕ σαν ακτίνες). Ομοίως προεκτείνω την πλευρά ΓΑ και το τρίγωνο ΔΓΖ θα είναι ισοσκελές. Η γωνία \Gamma \widehat{\rm Z}{\rm E} = {18^ \circ }, σαν εγγεγραμμένη που βαίνει στο κυρτό τόξο ΕΓ στο οποίο βαίνει η γωνία \Gamma \widehat{\rm B}{\rm A} = {12^ \circ } + {6^ \circ } = {18^ \circ }. Ομοίως η γωνία {\rm Z}\widehat{\rm E}{\rm B} = {24^ \circ } μια που {\rm Z}\widehat\Gamma {\rm B} = {18^ \circ } + {6^ \circ } = {24^ \circ }. Η γωνία \Delta \widehat{\rm H}{\rm A} = {36^ \circ } + {24^ \circ } = {60^ \circ } σαν εξωτερική του τριγώνου ΗΖΕ. Αφού \Delta \widehat{\rm Z}\Gamma  = {\rm E}\widehat{\rm Z}\Gamma  = {18^ \circ }, η ΖΑ θα είναι διχοτόμος της γωνίας {\rm H}\widehat{\rm Z}{\rm E} στο τρίγωνο ΗΖΕ. Φέρνω και τις άλλες δύο διχοτόμους και έστω Θ το έγκεντρο του τριγώνου ΗΖΕ. Ισχύει ότι {\rm A}\widehat\Theta {\rm E} = {18^ \circ } + {12^ \circ } = {30^ \circ } σαν εξωτερική γωνία του τριγώνου ΕΖΘ. Συγκρίνω τα τρίγωνα ΕΘΗ και ΕΔΗ, (τα οποία έχουν ΕΗ κοινή, {\rm E}\widehat{\rm H}\Theta  = {\rm E}\widehat{\rm H}\Delta  = {60^ \circ } και \Theta \widehat{\rm E}{\rm H} = \Delta \widehat{\rm E}{\rm H} = {12^ \circ }) επομένως είναι ίσα. Απ’ την ισότητα προκύπτει ότι ΕΘ = ΕΔ. Τα τρίγωνα ΕΘΑ και ΕΔΑ θα είναι ίσα (Π-Γ-Π), οπότε {\rm E}\widehat\Delta {\rm A} = {30^ \circ }. Τέλος η γωνία χ είναι εξωτερική του τριγώνου ΑΔΕ, οπότε {\rm B}\widehat{\rm A}\Delta  = x = {30^ \circ } + {12^ \circ } = {42^ \circ }.
x7-solution.png
x7-solution.png (37.69 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές
Φωτεινή η μύγα εξαφανίστηκε... :lol:


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Φωτεινή
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 3691
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:02 am
Τοποθεσία: -mathematica-

Re: Βρείτε τη γωνία χ (7)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φωτεινή » Δευ Μάιος 24, 2010 10:54 pm

ας συνεχίσουμε...

\displaystyle{\frac{sin x}{sin 12^o}=\frac{sin (138^o-x)}{sin 18^o}\leftrightarrow sin x\cdot sin 18^o=\sin 12^o \cdot sin (42^o+x)},\,\,\,,ανοίγουμε το ,\,\,\,sin (42^o+x) και διαιρούμε με cos x

\displaystyle{\epsilon\phi x=\frac{sin 12 \cdot sin 42}{sin 18 -sin 12 \cdot cos 42}=\frac{2\cdot sin 12 \cdot sin 42}{2\cdot sin 18-\color{red}{\bf 2\cdot sin 12 \cdot cos 42}}=\frac{2\cdot sin 12 \cdot sin 42}{2\cdot sin 18 -\color{red}{\bf sin 18}}=\frac{ 2\cdot sin 12 \cdot sin 42}{sin 18}=\frac{\color{red}{\bf 2\cdot sin 12 \cdot cos 42}}{\color{red}{\bf sin 18}}\cdot \frac{sin 42}{cos 42}=\epsilon\phi 42}

\boxed{x=42^o}

χρησιμοποιήσαμε το :\color{red}\bf 2\cdot sin 12\cdot cos 42 =sin 18,που το απέδειξε ο/η matha :arrow: ΕΔΩ


Φωτεινή Καλδή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης