Βρείτε τη γωνία χ (14)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία χ (14)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιουν 23, 2010 4:41 pm

Δίνεται {\rm B}\widehat{\rm A}\Delta  = {6^ \circ }, \Gamma \widehat{\rm A}\Delta  = {18^ \circ }, {\rm B}\widehat\Gamma \Delta  = {24^ \circ } και {\rm A}\widehat\Gamma \Delta  = {54^ \circ }. Βρείτε τη γωνία \Gamma \widehat{\rm B}\Delta  = x.
x14.jpg
x14.jpg (55.73 KiB) Προβλήθηκε 726 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιούλ 24, 2010 2:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα-Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (14)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Τετ Ιουν 23, 2010 5:33 pm

Trig Ceva για τους λάτρες της τριγωνομετρίας


Στραγάλης Χρήστος
ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 283
Εγγραφή: Σάβ Απρ 03, 2010 5:06 pm
Τοποθεσία: Αμαλιάδα - Ηλείας

Re: Βρείτε τη γωνία χ (14)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Σάβ Ιουν 26, 2010 8:24 pm

Καλησπέρα , μια λύση που προτείνω είναι η εξής :
Κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓΚ με το Κ σε εκείνο το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ΑΒ και στο οποίο δεν ανήκει το Δ .
K\hat{\Gamma }\Delta = 60-54=6^{o}
Η ΓΔ τέμνει την ΑΚ στο Λ .
Στη ΓΛ θεωρούμε σημείο Μ τέτοιο ώστε ΜΓ = ΜΑ . Έστω Ν η τομή των ΑΜ , ΚΓ .
M\hat{\Gamma }A=M\hat{A}\Gamma =54^{o}
ΑΚ = ΑΒ και άρα K\hat{A}B=36^{o} \Rightarrow \Lambda A\hat{M}= 36-30=6^{0}
Τα τρίγωνα ΛΑΜ , ΜΝΓ είναι ίσα γιατί ΜΑ = ΜΓ , και ισογώνια άρα ΑΛ = ΝΓ και επειδή ΚΑ =ΚΓ τελικά ΚΛ = ΚΝ .
Στη γωνία ΑΚΓ = 60° , ισχύουν οι ισότητες : ΚΛ = ΚΝ , ΚΑ = ΚΓ ,άρα ΚΜ = διχοτόμος της ΑΚΓ ,άρα ΜΚΓ = 30°.
Επίσης το ΑΜΔ είναι ισοσκελές αφούA\hat{M} \Delta =180-2\cdot 54=72^{0} , A\hat{\Delta }M=54+18=72^{o}
άρα ΑΜ = ΑΔ .
Τώρα ήρθε η ώρα να συγκρίνουμε τα ΚΜΓ , ΑΔΒ(ίσα γιατί ΑΔ = ΑΜ , ΑΚ = ΑΒ , K\hat{A}M=B\hat{A}\Delta = 6^{o})
άρα M\hat{K}\Gamma = A\hat{B}\Delta  = 30^{o} .
Τελικά χ = 78° - 30° = 48°.//


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (14)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Ιουν 26, 2010 9:03 pm

Ευχαριστώ τον Γιάννη για τη λύση του.
Άλλη μια Γεωμετρική αντιμετώπιση.

Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με {\rm A}\widehat{\rm B}\Gamma  = {78^ \circ }. Με κέντρο Β και ακτίνα ΒΓ φτιάχνω κύκλο που τέμνει την προέκταση του ΓΔ στο Ε. Το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές με {\rm B}\widehat{\rm E}\Gamma  = {24^ \circ }. Το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι εγγράψιμο ({\rm B}\widehat{\rm E}\Gamma  = {\rm B}\widehat{\rm A}\Gamma  = {24^ \circ }), οπότε {\rm A}\widehat{\rm B}{\rm E} = {54^ \circ } και {\rm A}\widehat{\rm E}\Gamma  = {78^ \circ }. Με κέντρο Ε και ακτίνα ΕΔ φτιάχνω κύκλο που τέμνει την προέκταση του ΒΕ στο Ζ. Το τρίγωνο ΕΔΖ είναι ισοσκελές με {\rm E}\widehat{\rm Z}\Delta  = {\rm E}\widehat\Delta {\rm Z} = {12^ \circ } και έστω Η το σημείο τομής της ΑΕ με τη ΖΔ. Εφόσον ΕΗ διχοτόμος θα είναι και μεσοκάθετος. ΗΖ=ΗΔ, ΗΑ κοινή και τα ορθογώνια τρίγωνα ΗΑΔ και ΗΖΑ είναι ίσα. Εφόσον {\rm Z}\widehat\Delta {\rm A} = {60^ \circ } (παραπληρωματική) προκύπτει ότι το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισόπλευρο με {\rm H}\widehat{\rm A}{\rm B} = {30^ \circ }. Το τρίγωνο ΒΖΑ είναι ισοσκελές ({\rm Z}\widehat{\rm B}{\rm A} = {\rm Z}\widehat{\rm A}{\rm B} = {54^ \circ }) άρα θα έχω ότι ΖΒ=ΖΔ που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΖΒΔ είναι ισοσκελές. Αφού {\rm B}\widehat{\rm Z}\Delta  = {12^ \circ } και {\rm Z}\widehat{\rm B}{\rm A} = {54^ \circ }, προκύπτει ότι \Delta \widehat{\rm B}{\rm A} = {30^ \circ } και μια που \Gamma \widehat{\rm B}{\rm A} = {78^ \circ }, θα έχω ότι \widehat\chi  = {48^ \circ }.
x14-sol.png
x14-sol.png (70.08 KiB) Προβλήθηκε 575 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες