Βρείτε το εμβαδόν

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε το εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιουν 30, 2010 4:08 pm

Δίνεται τετράγωνο πλευράς 6cm εγγεγραμμένο σε κύκλο και Ε το μέσο του τόξου ΔΓ. Βρείτε το εμβαδόν της χρωματιστής επιφάνειας.
area.jpg
area.jpg (80.84 KiB) Προβλήθηκε 1003 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιούλ 24, 2010 3:17 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 283
Εγγραφή: Σάβ Απρ 03, 2010 5:06 pm
Τοποθεσία: Αμαλιάδα - Ηλείας

Re: Βρείτε το εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Τετ Ιουν 30, 2010 5:15 pm

Καλησπέρα Μιχάλη και συγχαρτήρια για τις πρωτότυπες ασκήσεις Γεωμετρίας που δημοσιεύεις!!!
Μετά από γρήγορες πράξεις και με χρήση συντεταγμένων βρήκα :
Ε = \frac{9}{2}\left[\pi -2 -2\left(\sqrt{2}-1 \right)^{3}\right]
[Ως αρχή συστήματος συντεταγμένων θεώρησα το κέντρο του κύκλου και ως άξονες τις μεσοκαθέτους των ΓΔ , ΑΔ] .


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε το εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιουν 30, 2010 5:44 pm

Γιάννη σ’ ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια.
Το αποτέλεσμα σου είναι σωστό. Μετά από πράξεις καταλήγουμε στο: {\rm E} = \displaystyle\frac{{9\pi }}{2} + 54 - 45\sqrt 2.
Υπάρχει και γεωμετρική λύση και είμαι σίγουρος πως κάποιο από τα αξιόλογα μέλη του mathematica θα την αναρτήσει.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6164
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Βρείτε το εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Ιουν 30, 2010 5:55 pm

Mία λύση με κλασικά εργαλεία.

Το εμβαδόν του τομέα OCD είναι προφανώς \displaystyle{\frac{\pi R^2}{4},}
και το εμβαδόν του τριγώνου OCD είναι \displaystyle{\frac{R^2}{2}.}

Απομένει να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{ZEM}, όπου Z η τομή των \displaystyle{AE,CD} και M των \displaystyle{BD,CD.}
Φέρουμε την OE, η οποία ας τέμνει την CD στο σημείο K. Λόγω συμμετρίας έχουμε \displaystyle{(ZEM)=2(ZKE).}

Τα τρίγωνα \displaystyle{ZEK, ZDA} είναι όμοια, άρα ισχύει \displaystyle{\frac{EK}{AD}=\frac{ZK}{ZD}.} Όμως είναι \displaystyle{EK=R-a_{4}=R\frac{2-\sqrt{2}}{2},}

άρα βρίσκουμε \displaystyle{\frac{R\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{R\sqrt{2}}=\frac{KZ}{\frac{\lambda _{4}}{2}-KZ}.}

Από εδώ βρίσκουμε \displaystyle{KZ=\frac{2-\sqrt{2}}{2(1+\sqrt{2})}R,}


και επομένως έχουμε

\displaystyle{(EKZ)=\frac{(2-\sqrt{2})^2}{8(1+\sqrt{2})}R^2 .}

Τέλος, το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με

\displaystyle{\frac{\pi R^2}{4}-\frac{R^2}{2}-\frac{(2-\sqrt{2})^2}{4(1+\sqrt{2})}R^2 =\frac{R^2}{4}\left[\pi -2-2(\sqrt{2}-1)^3 \right].}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε το εμβαδόν

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Ιουν 30, 2010 6:23 pm

Μια γεωμετρική απάντηση:
30-06-2010 Geometry.png
30-06-2010 Geometry.png (58.95 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές
Έστω Ο το κέντρο του κύκλου. Το τρίγωνο ΔΟΓ έχει εμβαδόν \displaystyle 
\frac{{6^2 }}{4} = 9\;\tau .\mu .
Η διάμετρος του κύκλου είναι διαγώνιος του τετραγώνου, οπότε είναι ίση με \displaystyle 
6\sqrt 2
Η ακτίνα του κύκλου είναι \displaystyle 
3\sqrt 2

Το κυκλικό τμήμα (Ο, ΔΓ) έχει εμβαδόν \displaystyle 
\frac{{\pi  \cdot \left( {3\sqrt 2 } \right)^2 }}{4} - \left( {\Delta {\rm O}\Gamma } \right) = \frac{{9\pi }}{2} - 9\;\tau .\mu .

Φέρνω την ακτίνα ΟΕ, που τέμνει τη ΔΓ στο Κ.
Η ΟΚ είναι διάμεσος στην υποτείνουσα ΔΓ του ΔΟΓ, άρα ΟΚ = 3.
Τότε \displaystyle 
{\rm K}{\rm E} = 3\sqrt 2  - 3 = 3\left( {\sqrt 2  - 1} \right)

Τα τρίγωνα ΒΚΓ και ΚΕΛ είναι όμοια με λόγο \displaystyle 
\frac{{3\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}}{6} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2}

Τότε \displaystyle 
\frac{{{\rm K}\Lambda }}{{\Lambda \Gamma }} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{2}\; \Rightarrow \;\frac{{{\rm K}\Lambda }}{{K\Gamma }} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 1}}\; \Rightarrow \;\frac{{{\rm K}\Lambda }}{3} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 1}}\; \Rightarrow \;{\rm K}\Lambda  = 3 \cdot \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 1}}.

Είναι ΛΜ = 2 ΚΛ άρα \displaystyle 
\Lambda {\rm M} = 6 \cdot \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  + 1}}.

\displaystyle 
\left( {\Lambda {\rm M}{\rm E}} \right) = \frac{{{\rm E}{\rm K} \cdot \Lambda {\rm M}}}{2} = 9 \cdot \frac{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2 }}{{\sqrt 2  + 1}} = 9 \cdot \frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}} = 45\sqrt 2  - 63\;\tau .\mu .

Οπότε η κίτρινη επιφάνεια έχει εμβαδόν = \displaystyle 
\frac{{9\pi }}{2} + 54\; - 45\sqrt 2 \;\;\tau .\mu .

Γιώργος Ρίζος

Οι ασκήσεις του Μιχάλη είναι εξαιρετικές και τα γραφικά που κατασκευάζει επαγγελματικά. Μιχάλη, ευχαριστούμε για την ποιοτική προσφορά!

Πρόλαβε ο Θάνος :clap: , αλλά αφήνω και τη δική μου απάντηση (έχει και σχήμα...)

Υπολογίζεται επίσης με τριγωνομετρικούς αριθμούς των 22,5° ... :P


ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Δημοσιεύσεις: 283
Εγγραφή: Σάβ Απρ 03, 2010 5:06 pm
Τοποθεσία: Αμαλιάδα - Ηλείας

Re: Βρείτε το εμβαδόν

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΤΣΟΠΕΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ » Τετ Ιουν 30, 2010 6:40 pm

Μια ακόμη γεωμετρική προσέγγιση :
Έστω Ο το κέντρο του κύκλου και Ζ , Κ , Λ τα σημεία τομής των ΑΕ , ΒΕ , ΟΕ με την ΔΓ αντίστοιχα .
Τα ΖΕΚ , ΑΕΒ είναι όμοια άρα :
\frac{ZK}{AB}=\frac{E\Lambda }{E\Lambda +A\Delta}\Leftrightarrow \frac{ZK}{6}=\frac{3\sqrt{2}-3}{3\sqrt{2}+3}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow ZK=6\left(\sqrt{2}-1 \right)^{2} (1).
\left(ZEK \right)=\frac{ZK\cdot E\Lambda }{2}=\frac{6\left(\sqrt{2}-1 \right)^{2}\cdot 3\left(\sqrt{2}-1 \right)}{2}=9\left(\sqrt{2}-1 \right)^{3} (2)
το κυκλικό τμήμα ΔΕΓ έχει εμβαδόν \frac{\pi \cdot \left(3\sqrt{2} \right)^{2}-36}{4}=\frac{9}{2}\left(\pi -2 \right)  (3) .
Από (2) , (3) έπεται το ζητούμενο .//


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης