Βρείτε το λόγο (3)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε το λόγο (3)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Ιούλ 01, 2010 12:48 pm

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (\widehat{\rm A} = {90^ \circ }) με ΓΖ διχοτόμο και ΑΔ ύψος (Ε το σημείο τομής τους). Αν ισχύει ΑΔ=ΒΖ βρείτε το λόγο των εμβαδών \displaystyle\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}.
logos3.jpg
logos3.jpg (79.15 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιούλ 24, 2010 3:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1080
Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 8:07 pm
Τοποθεσία: ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Re: Βρείτε το λόγο (3)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ » Πέμ Ιούλ 01, 2010 2:49 pm

Μιχάλη,
Εδώ και καιρό παρακολουθώ και θαυμάζω τις πρωτότυπες και ωραίες ασκήσεις που μας θέτεις, μάλιστα με πολύ όμορφο τρόπο παρουσιασμένες. Δυστυχώς λόγω έλλειψης χρόνου (αλλά και λόγω του ότι οι εκλεκτοί μας συνάδελφοι δίνουν πλήθος λύσεων που με καλύπτουν πλήρως) δεν έχω ασχοληθεί περισσότερο με τη λύση τους.
Καταθέτω μία λύση για την τελευταία ενδιαφέρουσα άσκηση που μας θέτεις.

Φιλικά,
Ανδρέας
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ ΜΙΧΑΛΗ ΝΑΝΝΟΥ.doc
(380.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 76 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε το λόγο (3)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Ιούλ 01, 2010 11:00 pm

Στην προσπάθεια να κατασκευάσω το τρίγωνο με τις ιδιότητες που έδωσε ο Μιχάλης, κατέληξα στο "παράπλευρο" συμπέρασμα, που θα μπορούσε να είναι ξεχωριστή άσκηση:

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ φέρνουμε το ύψος ΑΔ και τη διχοτόμο ΓΖ. Αν είναι: ΑΔ = ΒΖ, αποδείξτε ότι το Ζ είναι στην χρυσή τομή του ΑΒ.
01-07-2010 Geometry.png
01-07-2010 Geometry.png (116.99 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές
Κακοποιώντας λίγο το σχήμα του Μιχάλη, για να μη φτιάχνω καινούριο...

Από Θ. Διχοτόμων στο ΑΒΓ είναι: \displaystyle 
\frac{{\gamma  - x}}{x} = \frac{\beta }{\alpha }.
Από την ομοιότητα των ΑΔΓ, ΑΒΓ είναι: \displaystyle 
\frac{\beta }{\alpha } = \frac{x}{\gamma }, οπότε \displaystyle \frac{{\gamma  - x}}{x} = \frac{x}{\gamma} \Rightarrow    
x^2  + \gamma x - \gamma ^2  = 0 (το ΒΖ είναι μέσος ανάλογος των ΑΒ, ΑΖ), άρα \displaystyle 
 \frac{x}{\gamma } = \frac{{\sqrt 5  - 1}}{2}.

Γιώργος Ρίζος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης