Βρείτε τη γωνία χ (17)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία χ (17)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Ιούλ 05, 2010 10:10 am

Δίνεται {\rm E}\widehat\Delta {\rm B} = {15^ \circ }, {\rm A}\widehat\Gamma {\rm E} = {30^ \circ }, {\rm A}\widehat{\rm B}\Delta  = {55^ \circ } και ΑΓ=ΒΔ. Βρείτε τη γωνία {\rm B}\widehat{\rm A}\Gamma  = x.
x17.jpg
x17.jpg (106.6 KiB) Προβλήθηκε 907 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιούλ 24, 2010 2:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (17)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιούλ 07, 2010 9:31 pm

Καλησπέρα.

Ίσως αν αλλάξουμε τον τίτλο σε "Δείξτε ότι η γωνία x είναι {75^ \circ }" να γίνει προσιτή η άσκηση.
Βρήκα μια προσέγγιση πηγαίνοντας ανάποδα, δηλαδή θεωρώντας ότι η γωνία είναι {75^ \circ } και αποδεικνύοντας ότι ΑΓ=ΒΔ.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (17)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Ιούλ 08, 2010 11:15 am

Καλημέρα.

Μία προσέγγιση για το αντίστροφο.

Θεωρούμε ότι η γωνία {\rm B}\widehat{\rm A}\Gamma  = {75^ \circ }. Τότε το τρίγωνο {\rm A}\Gamma {\rm E} θα είναι ισοσκελές και αφού η εξωτερική γωνία {\rm B}\widehat\Delta \Gamma  = {55^ \circ } + {75^ \circ } = {130^ \circ }, έπεται ότι \Gamma \widehat{\rm E}\Delta  = {5^ \circ }.Φέρνω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου \Gamma \Delta {\rm E} και έστω {\rm K} το περίκεντρο. Εφόσον η εγγεγραμμένη γωνία \Delta \widehat\Gamma {\rm E} = {30^ \circ }, η επίκεντρη γωνία \Delta \widehat{\rm K}{\rm E} = {60^ \circ } και το τρίγωνο \Delta {\rm E}{\rm K} θα είναι ισόπλευρο. Εφόσον η εγγεγραμμένη γωνία \Delta \widehat{\rm E}\Gamma  = {5^ \circ } θα ισχύει ότι η επίκεντρη \Gamma \widehat{\rm K}\Delta  = {10^ \circ }. Κατασκευάζω το ρόμβο {\rm E}{\rm K}\Gamma {\rm Z} με {\rm E}\widehat{\rm Z}\Gamma  = {70^ \circ } και {\rm Z}\widehat{\rm E}{\rm K} = {110^ \circ }. Φέρνω τη μεσοκάθετο – διχοτόμο ΓΜ του ισοσκελούς τριγώνου \Gamma {\rm E}{\rm A} που τέμνει την {\rm Z}{\rm E} στο {\rm N}. Η εξωτερική γωνία \Gamma \widehat{\rm N}{\rm Z} = {50^ \circ } + {5^ \circ } + {15^ \circ } = {70^ \circ }, οπότε το τρίγωνο \Gamma {\rm N}{\rm Z} είναι ισοσκελές. Αλλά και το τρίγωνο {\rm A}{\rm N}{\rm E} είναι ισοσκελές με προσκείμενες στη βάση γωνίες {20^ \circ }, άρα η εξωτερική γωνία {\rm A}\widehat{\rm N}{\rm Z} = {20^ \circ } + {20^ \circ } = {40^ \circ }.
Τα τρίγωνα {\rm A}{\rm N}\Gamma και {\rm B}{\rm E}\Delta είναι ίσα γιατί έχουν \Gamma {\rm N} = {\rm E}\Delta και τις προσκείμενες γωνίες τους μία προς μία ίσες.
Άρα {\rm A}\Gamma  = {\rm B}\Delta.
x17-sol.jpg
x17-sol.jpg (74.43 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (17)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Πέμ Ιούλ 08, 2010 5:09 pm

Kαλησπερα.
Βρείτε τη γωνία χ (17)2.png
Βρείτε τη γωνία χ (17)2.png (178.64 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int  \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x}  \imath T y
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (17)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Πέμ Ιούλ 08, 2010 5:44 pm

H μεθοδος αυτη (αντιστροφα) επιλυει το προβλημα και στην αρχικη του μορφη.


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int  \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x}  \imath T y
Άβαταρ μέλους
Δημήτρης Μυρογιάννης
Δημοσιεύσεις: 862
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 22, 2009 11:30 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (17)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δημήτρης Μυρογιάννης » Πέμ Ιούλ 08, 2010 10:48 pm

Για το αρχικο προβλημα :
Βρείτε τη γωνία χ (17)1.png
Βρείτε τη γωνία χ (17)1.png (857.3 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές


\top\Cape h e \;\; \AA \mathbb{R}\top\;\; o\pounds \; \; \int  \imath m\mathbb{P}\l \imath \mathbb{C}\imath \top y \;\;\imath s\;\;a\;\;\mathbb{P}\Cup \mathbb{Z}\mathbb{Z}le \;\; o\pounds \;\; \mathbb{C} o m\mathbb{P}l e^{x}  \imath T y
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες