Βρείτε τη γωνία χ (20)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία χ (20)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιούλ 16, 2010 2:42 pm

Δίνεται {\rm A}\widehat{\rm B}\Delta  = \Delta \widehat{\rm B}\Gamma  = x, {\rm A}\widehat\Gamma {\rm B} = 2x και ΑΔ=ΒΓ. Βρείτε τη γωνία x.
x20.jpg
x20.jpg (93.78 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιούλ 24, 2010 3:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1955
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Παρ Ιούλ 16, 2010 3:04 pm

μια παρατήρηση : ο λόγος ΑΒ / ΑΔ είναι ίσος με φ


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιούλ 16, 2010 3:06 pm

Μία γρήγορη λύση με τον οδοστρωτήρα της Τριγωνομετρίας.
Θα αναζητήσω και Γεωμετρική...

Από Ν. Ημιτόνων στο ΒΓΔ: \displaystyle 
\frac{{B\Gamma }}{{\eta \mu \left( {180^\circ  - 3x} \right)}} = \frac{{B\Delta }}{{\eta \mu 2x}}


Από Ν. Ημιτόνων στο ΒΑΔ: \displaystyle 
\frac{{A\Delta }}{{\eta \mu x}} = \frac{{B\Delta }}{{\eta \mu \left( {180^\circ  - 4x} \right)}}

με \displaystyle 
0 < x < 45^\circ

Αφού ΑΔ = ΒΓ, είναι:

\displaystyle 
\frac{{\eta \mu 2x}}{{\eta \mu 3x}} = \frac{{\eta \mu 4x}}{{\eta \mu x}} \Leftrightarrow \eta \mu 2x \cdot \eta \mu x = \eta \mu 3x \cdot \eta \mu 4x \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu 3x = \sigma \upsilon \nu x - \sigma \upsilon \nu 7x

\displaystyle 
 \Leftrightarrow \;\sigma \upsilon \nu 7x = \sigma \upsilon \nu 3x\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} 
 7x = 360^\circ  + 3x\; \Rightarrow x = 90^\circ \kappa  \\  
 7x = 360^\circ  - 3x\; \Rightarrow x = 36^\circ \kappa  \\  
 \end{array} \right.\;\;k \in Z


Μοναδική δεκτή λύση x = 36°.

Γιώργος Ρίζος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4342
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Παρ Ιούλ 16, 2010 3:46 pm

Rigio έγραψε: Θα αναζητήσω και Γεωμετρική...
Σκάβοντας στην άμμο, όπου ο Μιχάλης είχε κρύψει το σχήμα του, έφερα στην επιφάνεια το υπόλοιπο.
Δίχως πολλά λόγια, παρατηρήστε στο παρακάτω σχήμα ότι το τρίγωνο της υπόθεσης είναι κρυμμένο στο κανονικό 10γωνο του σχήματος.
16-07-2010 geometry.png
16-07-2010 geometry.png (240.83 KiB) Προβλήθηκε 318 φορές
Την ιδέα μου έδωσε η παρατήρηση του Χρήστου (βλέπετε παραπάνω), για το λόγο ΑΒ/ΑΔ.

(Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήγαμε και με Θ. Διχοτόμων...)

Γιώργος Ρίζος


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3198
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιούλ 16, 2010 4:45 pm

Ευχαριστώ τον Γιώργο για τις ωραίες λύσεις του καθώς και τον Χρήστο για την παρατήρησή του.

Άλλη μια γεωμετρική λύση:

Θέτω {\rm A}\Delta  = {\rm B}\Gamma  = \alpha και \Gamma \Delta  = \beta. Λόγω του ισοσκελούς τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma θα ισχύει {\rm A}{\rm B} = \alpha  + \beta. Με κέντρο \Gamma και ακτίνα \Gamma \Delta κατασκευάζω κύκλο, ο οποίος τέμνει την προέκταση της {\rm B}\Gamma στο {\rm E}. Εφόσον το τρίγωνο \Gamma \Delta {\rm E} είναι ισοσκελές και η εξωτερική γωνία {\rm A}\widehat\Gamma {\rm B} = 2x, έπεται ότι \Gamma \widehat{\rm E}\Delta  = \Gamma \widehat\Delta {\rm E} = x. Από την ισότητα των τριγώνων {\rm A}{\rm B}\Delta ,{\rm B}\Delta {\rm E} (Π-Γ-Π) συμπεραίνουμε ότι {\rm B}\widehat{\rm A}\Gamma  = x και από το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma έχουμε: 5x = {180^ \circ } \Rightarrow x = {36^ \circ }.
x20-sol.jpg
x20-sol.jpg (44.48 KiB) Προβλήθηκε 292 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
p_gianno
Δημοσιεύσεις: 1044
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 1:10 am

Re: Βρείτε τη γωνία χ (20)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από p_gianno » Παρ Ιούλ 16, 2010 5:16 pm

τργΒΑΓ ισοσκελές.
Αν ΔΕ//ΒΓ τότε γωνΑΔΕ=ΑΓΒ=2x (1) και επιπλέον ΒΓΔΕ ισοσκελές τραπέζιο (2) στο οποίο γωνΕΔΒ=ΔΒΓ=ΔΒΕ=x συνεπώς ΕΔ= ΒΕ και λόγω (2) ΕΔ=ΔΓ (3)
Λόγω (1) ,(3) και της υπόθεσης ΒΓ=ΑΔ προκύπτει ότι τργΕΑΔ=τργΓΒΔ --- > γωνΓΒΔ=ΕΑΔ=ΒΑΓ=x
τργΑΒΓ: Α+Β+Γ=180ο --- >5χ=180ο --- > x=36ο
Συνημμένα
beach triangle.png
beach triangle.png (175.27 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης