Βρείτε τη γωνία χ (41)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Βρείτε τη γωνία χ (41)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Σεπ 09, 2010 2:45 pm

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με διαγώνιες ΑΓ, ΒΔ και {\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = {12^ \circ }, {\rm B}\widehat \Delta \Gamma  = {30^ \circ }, \Gamma \widehat {\rm B}\Delta  = {48^ \circ }, \Delta \widehat {\rm B}{\rm A} = {66^ \circ }. Βρείτε τη γωνία \Gamma \widehat {\rm A}\Delta  = x.
41.jpg
41.jpg (73.17 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές
Απάντηση:


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (41)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Σεπ 12, 2010 11:51 am

Να δώσω μια προσπάθεια...

Φέρω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΒΓΔ. Προεκτείνουμε την ΒΑ μέχρι να τμήσει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο Ε. Ενώνουμε τα σημεία Γ, Δ με το Ε και παρατηρούμε ότι {\rm B}\widehat {\rm E}\Gamma  = {\rm B}\widehat \Delta \Gamma  = {30^ \circ } και \Gamma \widehat {\rm E}\Delta  = \Gamma \widehat {\rm B}\Delta  = {48^ \circ } (εγγεγραμμένες που βαίνουν στο ίδιο τόξο). \Delta \widehat {\rm A}{\rm E} = {78^ \circ } (εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΔ), άρα το τρίγωνο ΔΑΕ είναι ισοσκελές με {\rm E}\widehat \Delta {\rm A} = {24^ \circ }. Επειδή {\rm E}\widehat \Delta \Gamma  = {\rm E}\widehat \Gamma \Delta  = {66^ \circ } και το τρίγωνο ΕΓΔ είναι ισοσκελές, οπότε ΕΓ=ΑΔ. Με κέντρο Δ και ακτίνα ΔΑ κατασκευάζω κύκλο, ο οποίος τέμνει την προέκταση του ΕΓ στο Ζ. Το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισοσκελές (ΔΕ=ΔΖ σαν ακτίνες), οπότε \Delta \widehat {\rm Z}{\rm E} = {48^ \circ } και λόγω της εξωτερικής γωνίας \Delta \widehat \Gamma {\rm E} θα είναι \Gamma \widehat \Delta {\rm Z} = {18^ \circ }. Το τρίγωνο ΔΑΖ έχει ΔΑ=ΔΖ και {\rm A}\widehat \Delta {\rm Z} = {60^ \circ }, άρα είναι ισόπλευρο και θα είναι \Gamma \widehat {\rm Z}{\rm A} = {60^ \circ } - {48^ \circ } = {12^ \circ }.
41-sol.jpg
41-sol.jpg (106.58 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές
...η οποία θα ολοκληρωθεί αν λυθεί η "Βρείτε τη γωνία χ (42)" ή αν λυθεί η παρακάτω άσκηση:

Σε τρίγωνο ΑΒΓ με {\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma  = {12^ \circ }, {\rm A}\widehat \Gamma {\rm B} = {30^ \circ } και σημείο Δ πάνω στην ΒΓ τέτοιο ώστε ΑΒ=ΓΔ δείξτε ότι η {\rm B}\widehat {\rm A}\Delta  = {6^ \circ }.
41βοηθ.png
41βοηθ.png (4.79 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5324
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Βρείτε τη γωνία χ (41)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Σεπ 12, 2010 3:00 pm

Μία λύση, όχι της νοοτροπίας μου αλλά με σημαντικές μεθοδολογικές στιγμές, στηριγμένη στην γνώση :
12^ \circ   = 30^ \circ   - 18^ \circ   \Rightarrow \eta \mu 12^ \circ   = \frac{1} 
{8}\left[ {\sqrt {10 + 2\sqrt 5 }  - \sqrt 3 \left( {\sqrt 5  - 1} \right)} \right],\sigma \upsilon \nu 12^ \circ   = \frac{1} 
{8}\left[ {\sqrt {10 + 2\sqrt 5 }  + \sqrt 5  - 1} \right].
Θεωρούμε Ε σημείο της ΒΓ ώστε
{\rm A}{\rm E} \bot {\rm B}\Delta ,\mu \varepsilon \;{\rm Z} \equiv {\rm A}{\rm E} \cap {\rm B}\Delta .
Εύκολα βγαίνει οτι το τετράπλευρο ΑΕΓΔ είναι εγγράψιμμο σε κύκλο.
Αν θεωρήσουμε Η σημείο της ΑΖ που να είναι συμμετρικό του Ε ως προς την ΒΓ. Τότε ισχύει ότι:
\mathop {{\rm A}{\rm B}{\rm Z}}\limits^ \wedge   = 66^ \circ  ,\mathop {{\rm H}{\rm B}{\rm Z}}\limits^ \wedge   = 48^ \circ  .\;\frac{{\eta \mu 66^ \circ   - \eta \mu 48^ \circ  }} 
{{\eta \mu 48^ \circ  }} = \frac{1} 
{{\eta \mu 78^ \circ  }} \Rightarrow \frac{{{\rm A}{\rm H}}} 
{{{\rm H}{\rm Z}}} = \frac{{{\rm A}\Delta }} 
{{\Delta {\rm Z}}},
πράγμα που οδηγεί στο γεγονός ότι η ΔΗ είναι διχοτόμος δηλαδή
\mathop {{\rm H}\Delta {\rm Z}}\limits^ \wedge   = \mathop {{\rm H}\Delta {\rm A}}\limits^ \wedge   = 6^ \circ   \Rightarrow \mathop {{\rm E}\Delta \Gamma }\limits^ \wedge   = \mathop {{\rm E}{\rm A}\Gamma }\limits^ \wedge   = 24^ \circ   \Rightarrow \mathop {\Gamma {\rm A}\Delta }\limits^ \wedge   = 54^ \circ  .

S. E. Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες