Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Ανδρέας Πούλος · #1

Σε έναν κύκλο φέρουμε τις κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ.
Το μέρος του κυκλικού δίσκου που ορίζεται από τις κάθετες χορδές και το έλασσον τόξο ΑΓ έχει εμβαδόν 4 τ.μ.
Το μέρος του κυκλικού δίσκου που ορίζεται από τις κάθετες χορδές και το έλασσον τόξο ΑΔ έχει εμβαδόν 10 τ.μ.
Το μέρος του κυκλικού δίσκου που ορίζεται από τις κάθετες χορδές και το έλασσον τόξο ΒΓ έχει εμβαδόν 8 τ.μ.
Μπορεί να βρεθεί το εμβαδόν του μέρους του κυκλικού δίσκου που ορίζεται από τις κάθετες χορδές και το έλασσον τόξο ΒΔ;

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

polysindos · #2

Υπάρχει κάποια υπόδειξη;

Ανδρέας Πούλος · #3

Βεβαίως,
νομίζω ότι η λέξη "συμμετρία" είναι το κλειδί.
Με την ευκαιρία του ερωτήματος του φίλου Polysindos, σαν πολύ καιρό δεν έμεινε αναπάντητο αυτό το ερώτημα;
Έχω την αίσθηση ότι δεν θεωρήθηκε και τόσο σοβαρό. Αν δοθεί απάντηση, υπόσχομαι να δώσω και μία γενίκευσή του, η οποία με παιδεύει εδώ και καιρό και δεν μπορώ να την απαντήσω.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#4

Ανδρέα, μάλλον ξεχάστηκε!

Μία γρήγορη απάντηση, θα αναζητήσουμε κομψότερη.

: 28-10-2010 Geometry.png (29.74 KiB) Προβλήθηκε 2085 φορές

Από τους τύπους εμβαδών των ορθογωνίων τριγώνων:
ΑΚ•ΚΓ = 8
ΑΚ•ΚΔ = 20
ΒΚ•ΚΓ = 16
ΒΚ•ΚΔ = x
και από το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, που έχει κάθετες διαγώνιες:
ΑΒ•ΓΔ = 44 +2x

Οπότε: ΑΚ(ΚΓ +ΚΔ) = 28 άρα ΑΚ•ΓΔ = 28
και ΚΓ(ΑΚ + ΒΚ) = 24 άρα ΚΓ•ΑΒ = 24
Τότε: ΑΚ•ΓΔ• ΚΓ•ΑΒ = 28•24 άρα 8•(44 + 2x) = 28•24 οπότε x = 20

Γιώργος Ρίζος

edit: Τώρα τι να πω; Η μυωπία, η πρεσβυωπία, η ηλικία, ο παλιόκαιρος... Ο Αντώνης Σπυριδάκης μου επισήμανε με π.μ. ότι ΔΕΝ αναφέρεται σε τρίγωνα, αλλά στα μέρη του κυκλικού δίσκου. Θα επανέλθουμε... ΑΝΤΩΝΗ, ευχαριστώ!

Ανδρέας Πούλος · #5

Το θέμα στο οποίο απάντησε ο Γιώργος είχε τεθεί σε διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε.
Χωρίζουμε ένα ορθογώνιο με δύο ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του και τα τρία από τα τέσσερα ορθογώνια έχουν εμβαδά 4, 10 και 8.
Ζητείται το εμβαδόν του τέταρτου, το οποίο είναι πράγματι 20 τ.μ.
Εδώ, όμως έχουμε κάτι διαφορετικό, κάτι το "κυκλικό", που δημιουργεί πρόσθετες δυσκολίες.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

#6

Μια κάποια αρχή (συνημμένη), και όποιος μπορεί ας το τελειώσει

polysindos · #7

Υπάρχει λύση;

#8

polysindos έγραψε:Υπάρχει λύση;

Πιστεύω πως ναι, και όποιος διαθέτει γερό υπολογιστικό πακέτο καλείται να υπολογίσει την ακτίνα

επιλύοντας το παρακάτω σύστημα (όπου

,

τα μισά της οριζόντιας και κάθετης πλευράς του κεντρικού ορθογωνίου, αντίστοιχα)*:

$(\frac{R^{2}}{2})arcsin(\frac{a}{R})+(\frac{a}{2})\sqrt{R^{2}-a^{2}}=\frac{\pi R^{2}}{4}-7=ab+2$

$(\frac{R^{2}}{2})arcsin(\frac{b}{R})+(\frac{b}{2})\sqrt{R^{2}-b^{2}}=\frac{\pi R^{2}}{4}-6=ab+3$

*Οι εξισώσεις αυτές προκύπτουν από το συνημμένο σχήμα της προηγούμενης ανάρτησης μου και τον γνωστό τύπο εμβαδού κυκλικού χωρίου.

Γιώργος Μπαλόγλου

#9

Μια και δεν υπήρξε ανταπόκριση στο κάλεσμα μου, δίνω εδώ μια δυνατή -- και με τις δυο έννοιες του όρου -- προσέγγιση (που δεν μπορώ να ολοκληρώσω λόγω έλλειψης ισχυρού υπολογιστικού πακέτου):

Αντικαθιστώντας $b=\frac{\pi R^{2}}{4a}-\frac{9}{a}$ , κάνουμε γράφημα της

$(\frac{R^{2}sin^{-1}(\frac{a}{R})+a\sqrt{R^{2}-a^{2}}}{2}-\frac{\pi R^{2}}{4}+7)^{2}+$

$+(\frac{R^{2}sin^{-1}(\frac{\pi R}{4a}-\frac{9}{aR})+(\frac{\pi R^{2}}{4a}-\frac{9}{a})\sqrt{R^{2}-(\frac{\pi R^{2}}{4a}-\frac{9}{a})^{2}}}{2}-\frac{\pi R^{2}}{4}+6)^{2}$

... για σταθερό

κάθε φορά και με μοναδική μεταβλητή το

, αναζητώντας σημεία μηδενισμού της μη αρνητικής συνάρτησης. (Ένα παράδειγμα, για R=3,9

, που βεβαίως φανερώνει τα όρια του Wolfram Alpha, υπάρχει εδώ.)

[Πιστεύω ότι υπάρχει απειρία λύσεων στο εξαιρετικά ενδιαφέρον πρόβλημα του Ανδρέα, και ένα διάστημα ζητούμενων ακτίνων κάπου μεταξύ 3,5

και

: παραφράζοντας τον Καβάφη, καλώ τους 'ανδρείους της μηχανής' να επέμβουν και να δώσουν τέλος στην αναζήτηση! (Καμμιά ιδέα για επιδικτυακό (online!) λογισμικό γραφημάτων ευέλικτο όσο το MAPLE (που πρόσφατα σταμάτησε να δουλεύει στο παλιό Mac laptop μου;)]

Γιώργος Μπαλόγλου

#10

gbaloglou έγραψε: [Πιστεύω ότι υπάρχει απειρία λύσεων στο εξαιρετικά ενδιαφέρον πρόβλημα του Ανδρέα, και ένα διάστημα ζητούμενων ακτίνων κάπου μεταξύ και : παραφράζοντας τον Καβάφη, καλώ τους 'ανδρείους της μηχανής' να επέμβουν και να δώσουν τέλος στην αναζήτηση! (Καμμιά ιδέα για επιδικτυακό (online!) λογισμικό γραφημάτων ευέλικτο όσο το MAPLE (που πρόσφατα σταμάτησε να δουλεύει στο παλιό Mac laptop μου;)]

Τελικά το WOLFRAM ALPHA φαίνεται να είναι τόσο ευέλικτο όσο και το MAPLE ... και μου επιτρέπει να πω με σχετική σιγουριά ότι ΔΕΝ υπάρχει λύση στο πρόβλημα του Ανδρέα (για τους συγκεκριμένους αριθμούς που μας έδωσε, για άλλους φυσικά υπάρχει, χρειάζεται γερή διερεύνηση για την οποία δεν έχω τώρα τον χρόνο).

Γιώργος Μπαλόγλου

polysindos · #11

Τελικά υπάρχει λογισμικό που να δίνει λύση στο πρόβλημα;

Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Re: Εμβαδόν μικτόγραμμου σχήματος (μέρος κυκλικού δίσκου)

Μέλη σε σύνδεση