Πιθανότητα Συνάντησης

[nsmavrogiannis]

Το αγόρι θα ξεκινήσει από το Α και κινούμενο δεξιά-κατω θα φθάσει στο Β
Το κορίτσι θα ξεκινήσει από το Β και κινούμενο πάνω-αριστερα θα φθάσει στο Α.
Υποθέτουμε ότι ξεκινούν συγχρόνως, ότι κινούνται με την ίδια ταχύτητα, ότι τα οικοδομικά τετράγωνα είναι και έχουν ίδιες διαστάσεις και τέλος ότι η διαδρομή που επιλέγουν είναι τυχαία.
Ποια είναι η πιθανότητα να συναντηθούν;
Μαυρογιάννης

grid.png (228.6 KiB) Προβλήθηκε 1580 φορές

[antonis_math]

Mήπως..

A.png (4.77 KiB) Προβλήθηκε 1484 φορές

(και αν m+n περιττός, πιθανότητα = 0

Η σκέψη πίσω απο το αποτέλεσμα:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θα συναντηθούν, σε σημείο που έχει ίση απόσταση απο τα σημεία εκκίνησης ( Α,Β). Η απόσταση των Α,Β είναι
m+n. Τα σημεία στα οποία μπορούν να συναντηθούν,(θεωρώ προς τα κάτω(κ προς τα δεξια) θετική φορά) είναι (0, (m+ν)/2),
(1, (m+n)/2 - 1), ... , ( min(m,n), (m+n)/2 - min(m,n) ). Δηλαδή ( i, (m+n)/2 - i ), με i = 0,1,..min(m,n). (Μπορούμε να δούμε τα σημεία αν φέρουμε τη μεσοκάθετο του ΑΒ.)
Ο αριθμητής στο αποτέλεσμα είναι ένα άθροισμα κάθε όρος του οποίου είναι το πλήθος των δυνατών τρόπων να συναντηθούν σε ένα απο τα σημεία. Στον παρονομαστή, το πλήθος των δυνατών τρόπων να κινηθούν απο το Α, στο Β το ένα παιδί και απο το Β στο Α το άλλο.

[Demetres]

Συμφωνώ με την πιο πάνω απάντηση για άρτιο. Για περιττό όμως, διαφωνώ. Δεν μπορεί να συναντηθούν σε γωνία αλλά μπορούν να συναντηθούν στο μέσο ενός από τους δρόμους. Με παρόμοιο όμως σκεπτικό μπορούμε να βρούμε και αυτή την απάντηση.

[antonis_math]

Ναι Δημήτρη έχεις δίκιο, αυτό σκεφτόμουν πιο πριν, οτι πρέπει να γράψω οτι έχω θεωρήσει σημεία συνάντησης μόνο τις διασταυρώσεις, γιατί το κοίταξα με σημεία(πλέγμα), αλλα μιας και είναι πραγματικό πρόβλημα έχεις δίκιο και θέλει συμπλήρωση και για περιττό άθροισμα.

[nsmavrogiannis]

Καλώς τον Αντώνη. Σε είχαμε χάσει.
Η αντιμετώπιση μου είναι παρεμφερής την δική σου λαμβάνοντας υπ' όψιν και την παρατήρηση του Δημήτρη. Το πρόβλημα γίνεται αρκετά πιό δύσκολο αν βάλουμε άλλες ταχύτητες στην κίνηση. Ως ιδέα προβλήματος είναι κοινή. Πάντως για μένα προέκυψε σαν ερώτημα πριν πολλά χρόνια όταν μελετούσα το βιβλίο του μεγάλου δάσκαλου Georg Polya: Mathematical Discovery (Wiley, 1981). Στην σελίδα 68 του πρώτου τόμου έχει μία συζήτηση που μπορεί να γίνει άνετα στην τάξη μιας και τα επιχειρήματα από την συνδυαστική είναι πολύ απλά:
Να βρεθούν οι τρόποι με τους οποίους μπορεί να διαβαστεί η λέξη ABRACADABRA αν ξεκινήσουμε από πάνω προς τα κάτω:

abra.png (191.25 KiB) Προβλήθηκε 1423 φορές

Η κίνηση στο πρόβλημα είναι παρόμοια με περισσότερες δεσμεύσεις βέβαια. Το συγκεκριμένο πρόβλημα έχει και κάποιο ενδιαφέρον αν το συνδυάσει κανείς με την γεωμετρία του Ταξιτζή (http://www.scribd.com/doc/17542800/- ή http://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry).
Μαυρογιάννης