Bernoulli ή διωνυμική τ.μ.

lefsk · #1

Καλησπέρα! Δυσκολεύομαι στην εξής άσκηση:
Είστε στο αμάξι σας και θέλετε να πάτε στην θέση $\displaystyle{ A }$ .
Το πλήθος των φαναριών στην διαδρομή που ακολουθείτε είναι $\displaystyle{ 5 }$ , το καθένα από τα οποία είναι κόκκινο με πιθανότητα $\displaystyle{ \frac{1}{3} }$ , ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα. Αν είστε τυχερός και όλα τα φανάρια είναι πράσινα, μπορείτε να είστε εκεί που θέλετε σε $\displaystyle{ 23 }$ δευτερόλεπτα. Κάθε κόκκινο φανάρι προσθέτει $\displaystyle{ 4 }$ δευτερόλεπτα στον χρόνο διαδρομής.
α) Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή $\displaystyle{ R_{i} }$ ως το χρόνο που καθυστερείτε στο i-στό φανάρι. Τι είδους τ.μ. είναι αυτή; Ποια είναι η μέση τιμή και η διασπορά της;
β) Υπολογίστε τη συνάρτηση πιθανότητας, τη μέση τιμή και τη διασπορά της τ.μ. $\displaystyle{ X }$ . της διάρκειας της διαδρομής σας.
γ) Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή $\displaystyle{ N }$ ως το πλήθος των κόκκινων φαναριών που συναντήσατε. Υπολογίστε τη δεσμευμένη συνάρτηση πιθανότητας της τ.μ. $\displaystyle{ N }$ , δεδομένου του γεγονότος ότι η διάρκεια της διαδρομής σας είναι μικρότερη ή ίση με $\displaystyle{ 27 }$ δευτερόλεπτα. Δεδομένου του ίδιου γεγονότος, ποιο είναι το μέσο πλήθος των φαναριών που συναντήσατε;
δ) Δεδομένου ότι το τελευταίο κόκκινο φανάρι που συναντήσατε ήταν το τέταρτο φανάρι, υπολογίστε τη δεσμευμένη διασπορά του συνολικού πλήθους των κόκκινων φαναριών που συναντήσατε.
ε) Παίρνετε μια διαφορετική απόφαση. Περνάτε όλα τα φανάρια χωρίς να σταματήσετε, είτε είναι κόκκινο, είτε πράσινο. Αν περάσεις με κόκκινο, συλλαμβάνεσαι. Ποια η πιθανότητα να συλληφθείτε, πριν φτάσετε στον προορισμό σας;

Εγώ έχω κολλήσει από το πρώτο κιόλας ερώτημα. Η $\displaystyle{ R_{i} }$ είναι $\displaystyle{ 4 }$ , αν i-φανάρι είναι κόκκινο και $\displaystyle{ 0 }$ αν είναι πράσινο. Αυτή είναι Bernoulli τ.μ. ;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

lefsk έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 14, 2017 3:45 pm

Εγώ έχω κολλήσει από το πρώτο κιόλας ερώτημα. Η $\displaystyle{ R_{i} }$ είναι $\displaystyle{ 4 }$ , αν i-φανάρι είναι κόκκινο και $\displaystyle{ 0 }$ αν είναι πράσινο. Αυτή είναι Bernoulli τ.μ. ;

Ναι είναι Bernoulli.

lefsk · #3

Και τότε για τη μέση τιμή και τη διασπορά παίρνω κατευθείαν τους τύπους
$\displaystyle{ E[X]=p }$ και $\displaystyle{ var(X)= p(1-p) }$ ;
Το $\displaystyle{ 4 }$ δεν επηρεάζει το ερώτημα ;

Λάμπρος Κατσάπας · #4

lefsk έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 14, 2017 5:59 pm
Και τότε για τη μέση τιμή και τη διασπορά παίρνω κατευθείαν τους τύπους
$\displaystyle{ E[X]=p }$ και $\displaystyle{ var(X)= p(1-p) }$ ;
Το $\displaystyle{ 4 }$ δεν επηρεάζει το ερώτημα ;

Αυτοί οι τύποι είναι για δίτιμες 0-1 τυχαίες μεταβλητές. Πήγαινε με τον ορισμό μέσης τιμής και διασποράς διακριτής τ.μ. . Για την ακρίβεια οι $R_{i}$ είναι ίσες με

όπου

μία Bernoulli τ.μ. . Αν θες να αποφύγεις τον ορισμό θυμήσου ότι $E(cX)=cE(X),Var(cX)=c^{2}Var(X)$ .

lefsk · #5

Ευχαριστώ πολύ! Αν κάποιος έχει χρόνο και δεν του κάνει κόπο ας προσπαθήσει την άσκηση και ας μου στείλει τι απαντήσεις έβγαλε που να τσεκάρω τα δικά μου αποτελέσματα. Ευχαριστώ ξανά!

Bernoulli ή διωνυμική τ.μ.

Bernoulli ή διωνυμική τ.μ.

Re: Bernoulli ή διωνυμική τ.μ.

Re: Bernoulli ή διωνυμική τ.μ.

Re: Bernoulli ή διωνυμική τ.μ.

Re: Bernoulli ή διωνυμική τ.μ.

Μέλη σε σύνδεση