Σχεδίασε και εσύ μια διαδικασία, αν μπορείς...

Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 521
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σχεδίασε και εσύ μια διαδικασία, αν μπορείς...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Παρ Οκτ 18, 2019 12:09 pm

Ρίχνοντας ένα τίμιο κέρμα μέχρι να φέρουμε κορώνα είναι εύκολο να δούμε ότι η πιθανότητα να χρειαστούμε

άρτιο πλήθος ρίψεων είναι \frac{1}{3}. Κατά μέσο όρο βεβαίως θα χρειαστούμε 2 ρίψεις για να

τερματιστεί η διαδικασία. Μπορούμε να σχεδιάσουμε μια διαδικασία, πάλι με τίμιο κέρμα και πιθανότητα

επιτυχίας \frac{1}{3} για κάποιο ενδεχόμενο, που θα τερματίζει σε μέσο χρόνο μικρότερο του 2;



Λέξεις Κλειδιά:
Δασκαλοπουλος Κυριακος
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 03, 2019 1:28 am

Re: Σχεδίασε και εσύ μια διαδικασία, αν μπορείς...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δασκαλοπουλος Κυριακος » Δευ Οκτ 21, 2019 11:12 am

Δεν μου φαινεται προφανες γιατι η πιθανοτητα να χρειαστουμε αρτιο πληθος ριψεων ειναι 1/3.Θα μπορουσατε να μου το εξηγησετε?


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 521
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σχεδίασε και εσύ μια διαδικασία, αν μπορείς...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Δευ Οκτ 21, 2019 11:51 am

Δασκαλοπουλος Κυριακος έγραψε:
Δευ Οκτ 21, 2019 11:12 am
Δεν μου φαινεται προφανες γιατι η πιθανοτητα να χρειαστουμε αρτιο πληθος ριψεων ειναι 1/3.Θα μπορουσατε να μου το εξηγησετε?
To ενδεχόμενο είναι να σταματήσουμε στη 2η ρίψη ή στην 4η ή στην 6η κλπ .

Αυτό έχει πιθανότητα \sum_{i=2,4,6,...}\left (\dfrac{1}{2} \right )^i=\dfrac{1}{3} όπως μπορούμε

εύκολα να δείξουμε αφού είναι γεωμετρική πρόοδος.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8249
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Σχεδίασε και εσύ μια διαδικασία, αν μπορείς...

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Οκτ 21, 2019 12:58 pm

Όχι δεν μπορούμε.

Ας υποθέσουμε ότι για κάθε k υπάρχουν a_k τρόποι να τερματιστεί η διαδικασία σε ακριβώς k βήματα. Έστω επίσης b_k οι επιτυχείς τρόποι τερματισμού. Πρέπει \displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{2^k}=1 αφού σε διαφορετική περίπτωση θα υπάρχει θετική πιθανότητα να μην τερματιστεί ποτέ η διαδικασία και άρα ο μέσος χρόνος τερματισμού θα είναι άπειρος.

Αν υπάρχει n ώστε a_k = 0 για k > n τότε θα είναι και b_k = 0 για k > n. Αλλά τότε η πιθανότητα επιτυχίας θα ισούται με \displaystyle  \sum_{k=1}^{n}  \frac{b_k}{2^k} \neq \frac{1}{3}.

Άρα για κάθε n θα έχουμε και \displaystyle  \sum_{k=0}^{n} \frac{a_k}{2^k} < 1. Αυτό όμως μας δίνει απευθείας και την πιο ισχυρή ανισότητα \displaystyle  \sum_{k=0}^{n} \frac{a_k}{2^k} \leqslant \frac{2^n-1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^n}. Ισοδύναμα \displaystyle   \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{a_k}{2^k} \geqslant \frac{1}{2^n}.

Τότε και ο μέσος χρόνος τερματισμού είναι:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{ka_k}{2^k} = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=k}^{\infty} \frac{a_r}{2^r} \geqslant \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}}=2.


Δασκαλοπουλος Κυριακος
Δημοσιεύσεις: 3
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 03, 2019 1:28 am

Re: Σχεδίασε και εσύ μια διαδικασία, αν μπορείς...

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Δασκαλοπουλος Κυριακος » Δευ Οκτ 21, 2019 3:39 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Δευ Οκτ 21, 2019 11:51 am
Δασκαλοπουλος Κυριακος έγραψε:
Δευ Οκτ 21, 2019 11:12 am
Δεν μου φαινεται προφανες γιατι η πιθανοτητα να χρειαστουμε αρτιο πληθος ριψεων ειναι 1/3.Θα μπορουσατε να μου το εξηγησετε?
To ενδεχόμενο είναι να σταματήσουμε στη 2η ρίψη ή στην 4η ή στην 6η κλπ .

Αυτό έχει πιθανότητα \sum_{i=2,4,6,...}\left (\dfrac{1}{2} \right )^i=\dfrac{1}{3} όπως μπορούμε

εύκολα να δείξουμε αφού είναι γεωμετρική πρόοδος.
Σας ευχαριστώ!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες