Με ποσους τρόπους μπορώ να επιλεξω n αντικειμενα απο 3n+1

sofia10 · #1

Η διατύπωση είναι η εξης: 'Έστω αντικείμενα εκ των οποίων τα n είναι ομοια. Με πόσους τρόπους μπορω να επιλεξω n αντικειμένα;"
>Η σκεψη μου: Αφού τα ν είναι ιδια, τοτε (3n+1) - n = 2n+1

είναι διαφορετικά. Αν σκεφτούμε αυτά τα (2n+1) σαν διακεκριμένες υποδοχές τότε έχουμε την επιλογη να διαλεξουμε απο αυτα το πολύ n. Εστω πως σε καθε υποδοχη σημειώνουμε 0 αν δεν θα επιλεξουμε το αντιστοιχο αντικειμενο και 1 αν θα το επιλεξουμε . Το σιγουρο είναι οτι εκ των 2n+1

τα

δεν θα επιλεγουν σιγουρα διότι παιρνουμε οπως ειπαμε το πολυ ν. Άρα, μπορουμε να επιλεξουμε με C(2n+1,n+1)

τροπους αυτα που δεν θα παρουμε και για υπολοιπα

εχουμε 2 επιλογες: να σημειώσουμε ασσο (1) ή 0 ,άρα 2^n

τρόπος να επιλέξουμε. Συνολικα C(2n+1,n+1)*2^n

τρόποι.
>Η λυση ομως που δινεται στις διαφάνειες ειναι : $2^{2n }$
>Μπορεί καποιος να με βοηθησει να βρω το λαθος στον συλλογισμο μου?

Λάμπρος Κατσάπας · #2

sofia10 έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 27, 2020 8:56 pm
Η διατύπωση είναι η εξης: 'Έστω αντικείμενα εκ των οποίων τα n είναι ομοια. Με πόσους τρόπους μπορω να επιλεξω n αντικειμένα;"
>Η σκεψη μου: Αφού τα ν είναι ιδια, τοτε είναι διαφορετικά. Αν σκεφτούμε αυτά τα (2n+1) σαν διακεκριμένες υποδοχές τότε έχουμε την επιλογη να διαλεξουμε απο αυτα το πολύ n. Εστω πως σε καθε υποδοχη σημειώνουμε 0 αν δεν θα επιλεξουμε το αντιστοιχο αντικειμενο και 1 αν θα το επιλεξουμε . Το σιγουρο είναι οτι εκ των τα δεν θα επιλεγουν σιγουρα διότι παιρνουμε οπως ειπαμε το πολυ ν. Άρα, μπορουμε να επιλεξουμε με τροπους αυτα που δεν θα παρουμε και για υπολοιπα εχουμε 2 επιλογες: να σημειώσουμε ασσο (1) ή 0 ,άρα τρόπος να επιλέξουμε. Συνολικα τρόποι.
>Η λυση ομως που δινεται στις διαφάνειες ειναι : $2^{2n }$
>Μπορεί καποιος να με βοηθησει να βρω το λαθος στον συλλογισμο μου?

Τα

όμοια αντικείμενα διαμερίζουν το σύνολο των αντικειμένων σε δύο υποσύνολα.

Το ένα είναι τα

όμοια και τα υπόλοιπα 2n+1

ανόμοια. Αν τα

ήταν ανόμοια τότε είναι εύκολο να δεις ότι το πλήθος των τρόπων θα ήταν

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}\binom{n}{n-k}$ όπως το να επιλέξουμε

από τα

να είναι από τα 2n+1

ανόμοια και n-k

από τα υπόλοιπα

(ανόμοια και αυτά). Αυτό για κάθε k=0,1,...,n.

Το $\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}\binom{n}{n-k}$ θα ήταν προφανώς ίσο με το $\displaystyle \binom{3n+1}{n}$

όπως από τα 3n+1

αντικείμενα να επιλέξουμε τα

. Τώρα όμως τα

αντικείμενα

είναι ίδια και επομένως, στον παραπάνω τύπο, δεν θα έχουμε $\displaystyle \binom{n}{n-k}$ τρόπους

αλλά μόνο

και επομένως η απάντηση στο πρόβλημα είναι

$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}=2^{2n}.$

sofia10 · #3

ευχαριστω για την απαντηση. Ναι πραγματι, συμφωνω με τη λυση σας,(ουσιαστικα λετε οτι αρκει να επιλςξουμε ποσα θα παρουμε απο τα ανομοια διοτι τα υπολοιπα θα ειναι απο τα ομοια που παντα με 1 τροπο γινεται) .Απλα προσπαθω να καταλαβω σε αυτο που σοεφτηκα αρχικα ποιο ειναι το προβλημα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

sofia10 έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 27, 2020 11:39 pm
ευχαριστω για την απαντηση. Ναι πραγματι, συμφωνω με τη λυση σας,(ουσιαστικα λετε οτι αρκει να επιλςξουμε ποσα θα παρουμε απο τα ανομοια διοτι τα υπολοιπα θα ειναι απο τα ομοια που παντα με 1 τροπο γινεται) .Απλα προσπαθω να καταλαβω σε αυτο που σοεφτηκα αρχικα ποιο ειναι το προβλημα

Το λάθος είναι ότι μετράς πολλές φορές το ίδιο.
Ας υποθέσουμε ότι δεν θα πάρεις αρχικά τα 1,2,....,n+1

Απο τα αλλά παίρνεις τα n+3,n+4,.......2n+1

και ένα από τα όμοια.
Ας υποθέσουμε ότι δεν θα πάρεις αρχικά τα 1,2,....,n,n+2

Από τα άλλα παίρνεις πάλι τα n+3,n+4,.......2n+1

και ένα από τα όμοια.
Εχεις μετρήσει δύο φορές το ίδιο.

Για να δούμε και μία λύση που το μόνο που χρειάζεται είναι ότι το πλήθος των
υποσυνόλων ενός συνόλου με

στοιχεία είναι 2^m

Η απόδειξη αυτού μπορεί να γίνει ως εξής:
Αν πάρουμε ένα συγκεκριμένο στοιχείο βάζουμε

διαφορετικά

.
Ετσι το πλήθος των
υποσυνόλων ενός συνόλου με

στοιχεία είναι όσες οι διατεταγμένες m-άδες από

η

δηλαδή

.

Στο πρόβλημά μας τώρα.
Θέλουμε να μετρήσουμε πόσα υποσύνολα με

στοιχεία όπου $k\leq n$
έχει ένα σύνολο με 2n+1

στοιχεία.
Σε κάθε υποσύνολο με

στοιχεία όπου $k\leq n$ αντιστοιχεί ένα υποσύνολο με
2n+1-k

(εδω είναι το μυστικό ότι έχουμε περιττό πλήθος) και αντίστροφα.
Αρα υποσύνολα με

στοιχεία όπου $k\leq n$
που έχει ένα σύνολο με 2n+1

στοιχεία είναι τα μισά του πλήθους όλων των υποσυνόλων του.

Δηλαδή $\dfrac{2^{2n+1}}{2}=2^{2n}$

sofia10 · #5

ναι εχετε δικιο διπλομετραω.
Τωρα για τη λυση σας: Αν καταλαβα καλα λετε "θα επιλεξω κ στοιχεια εκ των (2κ+1) , αυτα αποτελουν ενα συνολο . Σε καθε τετοιο συνολο ομως αντιστοιχει ενα με (2κ+1-κ) - αυτα που δεν επελεξα-. Τα υποσυνολα γενικα ενος συνολου με (2n+1) στοιχεια ειναι $2^{2n+1}$ .Αυτο που δεν καταλαβαινω ειναι το επιχειρημα οτι ειναι τα μισα των υποσυνολων του (2ν+1) , γιατι το κ μας δεν παιρνει τιμες πανω απο n

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

sofia10 έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 28, 2020 12:40 am
ναι εχετε δικιο διπλομετραω.
Τωρα για τη λυση σας: Αν καταλαβα καλα λετε "θα επιλεξω κ στοιχεια εκ των (2κ+1) , αυτα αποτελουν ενα συνολο . Σε καθε τετοιο συνολο ομως αντιστοιχει ενα με (2κ+1-κ) - αυτα που δεν επελεξα-. Τα υποσυνολα γενικα ενος συνολου με (2n+1) στοιχεια ειναι $2^{2n+1}$ .Αυτο που δεν καταλαβαινω ειναι το επιχειρημα οτι ειναι τα μισα των υποσυνολων του (2ν+1) , γιατι το κ μας δεν παιρνει τιμες πανω απο n

Το κενό αντιστοιχεί σε όλο το σύνολο.
Τα σύνολα με

στοιχείο είναι όσα με

Τα σύνολα με

στοιχεία είναι όσα με 2n-1

.
Τα σύνολα με

στοιχεία είναι όσα με 2n+1-k

.
.
Τα σύνολα με

στοιχεία είναι όσα με n+1

Αρα αυτά που έχουν το πολύ

στοιχεία είναι τα μισά.

nickchalkida · #7

Πιστεύω να συμβάλλω στη διατύπωση της εικόνας, παραθέτοντας τον ακόλουθο συμβολισμό.

Υπάρχουν 2n+1

διακεκριμένα αντικείμενα, οπότε

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & S = \binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \cdots + \binom{2n+1}{n} \cr & S = \binom{2n+1}{2n+1} + \binom{2n+1}{2n} + \cdots + \binom{2n+1}{n+1} \cr \end{aligned} \right\}\rightarrow \cr }$

$\displaystyle{ 2S = \sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1} \rightarrow S = 2^{2n} }$

όπου το άθροισμα στη δεύτερη σειρά είναι ανασχηματισμός του πρώτου κάνοντας χρήση της ιδιότητας $C_{n,k}=C_{n,n-k}$ .

Με ποσους τρόπους μπορώ να επιλεξω n αντικειμενα απο 3n+1

Με ποσους τρόπους μπορώ να επιλεξω n αντικειμενα απο 3n+1

Re: Με ποσους τρόπους μπορώ να επιλεξω n αντικειμενα απο 3n+1

Re: Με ποσους τρόπους μπορώ να επιλεξω n αντικειμενα απο 3n+1

Re: Με ποσους τρόπους μπορώ να επιλεξω n αντικειμενα απο 3n+1

Re: Με ποσους τρόπους μπορώ να επιλεξω n αντικειμενα απο 3n+1

Re: Με ποσους τρόπους μπορώ να επιλεξω n αντικειμενα απο 3n+1

Re: Με ποσους τρόπους μπορώ να επιλεξω n αντικειμενα απο 3n+1

Μέλη σε σύνδεση