Μη οδικά συνεκτικό σύνολο

#1

Να αποδειχθεί ότι το σύνολο

$A=\big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; y\cos{x}+x\sin{y}=1\big\}$

δεν είναι οδικά συνεκτικό (path-connected) σύνολο ως προς την επαγόμενη τοπολογία του

στο $\mathbb{R}^2$ .

#2

Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει $x \in \mathbb{R}$ με $(x,0) \in A$ . Πράγματι αυτό είναι άμεσο αφού αν y=0

τότε $y\cos{x} + x\sin{y} = 0 \neq 1$ .

Από την άλλη παρατηρούμε ότι $(0,1) \in A$ και $(-\arccos{(1/\pi),-\pi})\in A$ . Αυτά τα δύο σημεία πρέπει να ανήκουν σε διαφορετικές συνιστώσες του

αφού οποιοδήποτε μονοπάτι από το ένα στο άλλο αναγκαστικά περνάει από κάποιο σημείο της μορφής (x,0)

.

Άρα το

δεν είναι οδικά συνεκτικό. Παρόμοια ουσιαστικά απόδειξη δείχνει ότι το

δεν είναι καν συνεκτικό.

#3

Δημήτρη,

πιο σύντομη -και απέριττη- λύση δεν νομίζω να υπάρχει. Ο ίδιος -λιγότερο προσεκτικός- διαπίστωσα ότι το θετικό τμήμα της $y=\frac{\pi}{x}$ δεν έχει κοινά στοιχεία με το

, ενώ ταυτόχρονα είναι συνεχής και απειρίζεται ως προς τις διευθύνσεις των ημιαξόνων

και

, δηλαδή "κόβει τις συνεκτικές συνιστώσες του

σε δυο μέρη". Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η εξίσωση $\frac{\pi}{x}\cos{x}+x\sin\frac{\pi}{x}=1$ δεν έχει λύση για x>0

. Στην πραγματικότητα, η συνάρτηση $f(x)=\frac{\pi}{x}\cos{x}+x\sin\frac{\pi}{x}-1\,,\; x\in(0,+\infty)\,,$ είναι θετική στο $(0,+\infty)$ . Το τελευταίο δεν προκύπτει εύκολα και για αυτό τον λόγο ανάρτησα το θέμα.

(*) Επέλεξα να βάλω το θέμα σε αυτόν τον φάκελο, γιατί δεν απέκλεια μια λύση με χρήση μεθόδων διανυσματικού λογισμού ή (αλγεβρικής) τοπολογίας.

Μη οδικά συνεκτικό σύνολο

Μη οδικά συνεκτικό σύνολο

Re: Μη οδικά συνεκτικό σύνολο

Re: Μη οδικά συνεκτικό σύνολο

Μέλη σε σύνδεση