Στοιχειώδης απορία στην τοπολογία

[mathstudent03]

Έχω μια στοιχειώδη απορία στην τοπολογία στον ορισμό του τοπολογικού χώρου που βασίζεται στις γειτονιές. Μπορεί να δει κανείς αυτό τον ορισμό στο παρακάτω link
http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CE% ... E%BF%CF%82

Αντιγράφω το απόσπασμα:

«1) Αν Ν είναι μία γειτονιά του x, τότε το Ν. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο ανήκει σε κάθε γειτονία αυτού του σημείου.

2) Αν Ν είναι ένα υποσύνολο του Χ που περιέχει μία γειτονιά του x, τότε Ν είναι μία γειτονία του x. Αυτό σημαίνει ότι κάθε υποσύνολο (σημείωση δική μου : εδώ μάλλον κάνει λάθος εννοεί υπερσύνολο) μιας γειτονιάς ενός σημείου x του Χ ειναι ξανά μια γειτονιά του x.

3) Το Σημείο τομής δύο γειτονιών του x είναι μία γειτονιά του x

4) Οποιαδήποτε γειτονιά Ν του x περιέχει μία γειτονιά Μ του x ώστε Ν να είναι γειτονία για κάθε σημείο του Μ»


Βρήκα σε κάποιο βιβλίο ότι όλες οι πιθανές τοπολογίες που μπορούν να υπάρξουν σε ένα σύνολο με 2 στοιχεία είναι τέσσερις. Είναι οι εξής:


1) Γειτονιά του και Γειτονιά του
2) Γειτονιά του και Γειτονιά του
3) Γειτονιά του και Γειτονιά του
4) Γειτονιά του και Γειτονιά του


Αυτό που δεν μπορώ να καταλάβω είναι γιατί δεν είναι πχ και η εξής:
5) Γειτονιά του και Γειτονιά του

Δηλαδή κάθε σημείο να έχει μοναδική γειτονιά τον εαυτό του και κανένα άλλο. Σε ποια από τις 4 απαιτήσεις του συγκεκριμένου ορισμού κολλάει;

[Demetres]

Έχεις δίκιο στο (2) πρέπει να λέει υπερσύνολο και όχι υποσύνολο. Στην αγγλική που κοιτάζω τώρα το λέει σωστά.

Αυτό ουσιαστικά απαντάει και στο ερώτημά σου αφού απαραίτητα το πρέπει να είναι γειτονιά του . Στο παράδειγμά σου δεν είναι.

[mathstudent03]

Αν και είχα καταλάβει ότι υπάρχει λάθος στην ελληνική wikipedia, εξακολουθώ να μην καταλαβαίνω το ερώτημα που έθεσα. Δηλαδή θα μπορούσε το Ν να είναι το ίδιο το μονοσύνολο και να περιέχει μια γειτονιά του που είναι το ίδιο το . Δηλαδή δε βλέπω που είναι το πρόβλημα αν το σύνολο που περιέχεται είναι το ίδιο αρχικό σύνολο. Κάθε σύνολο είναι υποσύνολο και υπερσύνολο του εαυτού του, έτσι δεν είναι;

[mathstudent03]

Ουπς μάλλον κατάλαβα το λάθος μου. Λέει για κάθε υποσύνολο του Χ και όχι για ένα "βολικό" που πήρα εγώ. Είναι έτσι;

[Mihalis_Lambrou]

3) Το Σημείο τομής δύο γειτονιών του x είναι μία γειτονιά του x

Και στο κοκκινισμένο σημείο έχουμε κακή μετάφραση. Δεν έχει νόημα το "σημείο τομής". Το σωστό είναι

3) Η τομή δύο γειτονιών του είναι μία γειτονιά του .

Στο αγγλικό προτότυπο είναι σωστά γραμμένο. Η ελληνική απόδοση φταίει.

Μ.