Ρίζες λύσεων διαφορικών

Συντονιστής: Σεραφείμ

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Κοτρώνης Αναστάσιος

Ρίζες λύσεων διαφορικών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Δευ Ιαν 17, 2011 5:58 pm

Έστω f λύση της y{''}+a(x)y=0 και g λύση της y{''}+b(x)y=0 στο [c,d] με c<d στο \mathbb R, και έστω ότι a(x)<b(x) στο (c,d). Αν x_{1}<x_{2} διαδοχικές ρίζες της f στο (c,d), δείξτε ότι για κάποιο \xi\in(x_{1},x_{2}) είναι g(\xi)=0.

Edit: Οι a(x),b(x) είναι συνεχείς στο [c,d].


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Jeronymo Simonstone
Δημοσιεύσεις: 89
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 09, 2009 8:52 pm

Re: Ρίζες λύσεων διαφορικών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Jeronymo Simonstone » Τρί Ιουν 28, 2011 1:05 am

Εαν το συμπέρασμα δεν ισχύει, τότε η συνάρτηση h=f/g είναι καλά ορισμένη στο (x_1,x_2).
Aπό το Θ.Rolle, h'(\xi)=0 για κάποιο \xi\in(x_1,x_2), οπότε η ορίζουσα Wronski των f,g
είναι μηδέν σε ένα σημείο, οπότε σε ολόκληρο το (x_1,x_2). Άρα οι f,g είναι γραμμικά
εξαρτημένες: f=cg, \ c\neq0. Με λίγες πράξεις (b-a)g=0 στο (x_1,x_2), άτοπο.


\int_{f(x)}^{dx}ab+\frac{1}{k^2}\sum_{k=+\infty}^{1}\frac{1}{\pi^2}=\frac{9}{69}+F(b)- \underbrace{(-( -...-F(a)))}_{2n+1 \ fores}, \ \forall \mathbb{N}\in n
Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3600
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ρίζες λύσεων διαφορικών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Νοέμ 08, 2017 8:09 pm

Jeronymo Simonstone έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 28, 2011 1:05 am
 Εαν το συμπέρασμα δεν ισχύει, τότε η συνάρτηση h=f/g είναι καλά ορισμένη στο (x_1,x_2).
Aπό το Θ.Rolle, h'(\xi)=0 για κάποιο \xi\in(x_1,x_2), οπότε η ορίζουσα Wronski των f,g
είναι μηδέν σε ένα σημείο, οπότε σε ολόκληρο το (x_1,x_2). Άρα οι f,g είναι γραμμικά
εξαρτημένες: f=cg, \ c\neq0. Με λίγες πράξεις (b-a)g=0 στο (x_1,x_2), άτοπο.
Προφανώς η λύση είναι λάθος.
Η ορίζουσα Wronski ορίζεται για λύσεις της ίδιας διαφορικής εξίσωσης.

συμπλήρωμα.Εστω w(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

Το ότι αν w(x_{0})=0\Rightarrow w(x)=0,x\in I
ισχύει όταν οι συναρτήσεις είναι λύσεις μιας διαφορικής 2 τάξης.
συμπλήρωμα 2
Δείτε στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2% ... on_theorem


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες