Ρίζες λύσεων διαφορικών

#1

Έστω

λύση της

και

λύση της

στο

με

στο $\mathbb R$ , και έστω ότι a(x)<b(x)

στο

. Αν $x_{1}<x_{2}$ διαδοχικές ρίζες της

στο

, δείξτε ότι για κάποιο $\xi\in(x_{1},x_{2})$ είναι $g(\xi)=0$ .

Edit: Οι a(x),b(x)

είναι συνεχείς στο [c,d]

.

Jeronymo Simonstone · #2

Εαν το συμπέρασμα δεν ισχύει, τότε η συνάρτηση h=f/g

είναι καλά ορισμένη στο (x_1,x_2)

.
Aπό το Θ.Rolle, $h'(\xi)=0$ για κάποιο $\xi\in(x_1,x_2)$ , οπότε η ορίζουσα Wronski των f,g

είναι μηδέν σε ένα σημείο, οπότε σε ολόκληρο το (x_1,x_2)

. Άρα οι

είναι γραμμικά
εξαρτημένες: $f=cg, \ c\neq0$ . Με λίγες πράξεις (b-a)g=0

στο

, άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Jeronymo Simonstone έγραψε: ↑
Τρί Ιουν 28, 2011 1:05 am
Εαν το συμπέρασμα δεν ισχύει, τότε η συνάρτηση είναι καλά ορισμένη στο .
Aπό το Θ.Rolle, $h'(\xi)=0$ για κάποιο $\xi\in(x_1,x_2)$ , οπότε η ορίζουσα Wronski των
είναι μηδέν σε ένα σημείο, οπότε σε ολόκληρο το . Άρα οι είναι γραμμικά
εξαρτημένες: $f=cg, \ c\neq0$ . Με λίγες πράξεις στο , άτοπο.

Προφανώς η λύση είναι λάθος.
Η ορίζουσα Wronski ορίζεται για λύσεις της ίδιας διαφορικής εξίσωσης.

συμπλήρωμα.Εστω w(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)

Το ότι αν $w(x_{0})=0\Rightarrow w(x)=0,x\in I$
ισχύει όταν οι συναρτήσεις είναι λύσεις μιας διαφορικής 2 τάξης.
συμπλήρωμα 2
Δείτε στο
https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2% ... on_theorem

Ρίζες λύσεων διαφορικών

Ρίζες λύσεων διαφορικών

Re: Ρίζες λύσεων διαφορικών

Re: Ρίζες λύσεων διαφορικών

Μέλη σε σύνδεση