Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

#1

24 Απριλίου, 1977

Νεγρεπόντης Στυλιανός

Α-1. (α) Δώστε τον ορισμό της βάσης τοπολογίαςκαι τον ορισμό της βάσης περιοχών σε ένα τοπολογικό χώρο

(β) Διατυπώστε και αποδείξτε το κριτήριο Hausdorff ισότητος τοπολογιών

Α-2. (α) Δώστε τον ορισμό της κλειστότητας και του εσωτερικού ενός υποσυνόλου ενός τοπολογικού χώρου.

(β) Έστω Χ τοπολογικός χώρος και $G\subset X$ .
Αποδείξτε ότι τα εξής είναι ισοδύναμα:

(ι) G είναι ανοικτό

(ιι) $G\cap{\overline{A}}\subset \overline{G\bigcap{A}}$

για κάθε $A\subset X$

Α-3. (α) Έστω Χ πρώτος αριθμήσιμος τοπολογικός χώρος , $A\subset X$ και $x \in \overline{A}$

Αποδείξτε ότι υπάρχει ακολουθία $\left\{x_{n} \right\}_{n \in N}$ στο Α ώστε $x_{n}\rightarrow x$

(β) Δώστε παράδειγμα με πλήρη απόδειξη , ενός τοπολογικού χώρου στον οποίο δεν ισχύει το συμπέρασμα του (α)

Α-4. (α) Έστω Χ τοπολογικός χώρος , $A_{i}\subset X$ συνεκτικό για κάθε $i\in I$ και $\bigcap{_{i \in I}}A_{i}\neq \left\{ \right\}.$
Αποδείξτε ότι το σύνολο $\bigcup{_{i \in I}}A_{i}$ είναι συνεκτικό.

(β) Αν Χ και Y είναι τοπολογικοί χώροι συνεκτικοί , αποδείξτε (με την βοήθεια του (α) ) ότι και το γινόμενο Χ*Y είναι χώρος συνεκτικός.

Β-1. (α) Περιγράψτε λεπτομερώς την τοπολογία Καρτεσιανό γινόμενο.

(β) Αν $X_{i}$ είναι χώρος $T_{3}$ για κάθε $i\in I$ , αποδείξτε ότι και $\prod{_{i \in I}}X_{i}$ είναι χώρος $T_{3}$

Β-2. (α) Δώστε τον ορισμό του δικτύου και της συγκλίσεως δικτύου σε ένα τοπολογικό χώρο.

(β) Έστω Χ τοπολογικός χώρος $T_{3\frac{1}{2}}$ . Αποδείξτε ότι ένα δίκτυο $\left\{\rho _{\lambda } \right\}$ στον Χ συγλίνει σε ένα σημείο ρ, αν και μόνο αν $f(\varrho _{\lambda })\rightarrow f(\varrho ),$

για κάθε $f:X\rightarrow R$ με f συνεχή.

Β-3. (α) Έστω Χ τοπολογικός χώρος, $K_{1},K_{2}, ... , K_{\nu }$ κλειστά υποσύνολα του Χ ώστε:

$X=K_{1}\bigcup{K_{2}}\bigcup{}...\bigcup{K_{\nu }}$ . Αποδείξτε ότι μια συνάρτηση $f:X\rightarrow R$ είναι συνεχής αν και μόνο αν $f/K_{i}$ είναι συνεχής για κάθε i = 1,2,...,ν

(β) Έστω Χ τοπολογικός χώρος , $F_{i}\subset X$ κλειστό για κάθε $i \in I$ και $X=\bigcup{_{i\in I}F_{i}}$ ώστε για κάθε $x \in X$ υπάρχει U περιοχή του x ώστε το σύνολο $\left\{i\in I:U\bigcap{F_{i}\neq \left\{ \right\}} \right\}$ να είναι πεπερασμένο. Αποδείξτε ότι μια συνάρτηση $f:X\rightarrow R$ είναι συνεχής αν και μόνο αν $f/F_{i}$ συνεχής για κάθε $i \in I$

Γ-1. (α) Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος , Α, Β κλειστά μη κενά υποσύνολα του Χ ώστε $A\bigcap{B}=\left\{ \right\}$ και Α συμπαγές. Αποδείξτε ότι $\varrho (A,B)=inf\left\{\varrho (a,b):a\in A,b\in B \right\}>0.$

(β) Δώστε παράδειγμα στον μετρικό χώρο $R^{2}$ δύο μη κενών ξένων κλειστών υποσυνόλων Α,Β ώστε
ρ(Α,Β)=0.

Γ-2 (α) 'Εστω Χ συμπαγής μετρικός χώρος και $f:X\rightarrow X$ ισομετρία, δηλαδή για κάθε $x,y \in X$ ,

$\varrho (x,y)=\varrho (f(x),f(y)).$ . Αποδείξτε ότι η f είναι επί.

(Υποθέσατε ότι $f^{n}=fofo...of$ (n όροι))

(Να απαντήσετε σε 2 θέματα της ομάδας Α, 2 της Β και σε 1 της Γ)

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: Α-3. (α) Έστω Χ πρώτος αριθμήσιμος τοπολογικός χώρος , $A\subset X$ και $X \in \bar{A}$

Αποδείξτε ότι υπάρχει ακολουθία $\left\{x_{n} \right\}_{n \in N}$ στο Α ώστε $x_{n}\rightarrow x$

(β) Δώστε παράδειγμα με πλήρη απόδειξη , ενός τοπολογικού χώρου στον οποίο δεν ισχύει το συμπέρασμα του (α)

Υπάρχει ένα τυπογραφικό στην εκφώνηση αφού πρέπει να είναι $x \in \bar{A}$ . Αφού ο

είναι πρώτος αριθμήσιμος υπάρχει ακολουθία (U_n)

ανοικτών συνόλων ώστε κάθε ανοικτό σύνολο που περιέχει το

περιέχει και κάποιο από τα U_n

. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $U_1 \supseteq U_2 \supseteq \cdots$ .

Αφού $x \in \bar{A}$ τότε (εξ' ορισμού) για κάθε

το $U_n \cap A$ είναι μη κενό. Έστω λοιπόν $x_n \in U_n \cap A$ . Ισχυρίζομαι ότι $x_n \to x$ . Πρέπει να δείξω ότι για κάθε ανοικτο

που περιέχει το

, υπάρχει

, ώστε $x_n \in V$ για κάθε $n \geqslant N$ . Αυτό όμως είναι άμεσο αφού από τον ορισμό της ακολουθίας (U_n)

υπάρχει

ώστε $U_N \subseteq V$ , και άρα $x_n \in U_n \subseteq V$ για κάθε $n \geqslant N$ .

Για το (β) παίρνουμε το $\mathbb{R}$ με την cocountable τοπολογία. Δηλαδή τα κλειστά σύνολα είναι το $\mathbb{R}$ και όλα τα αριθμήσιμα σύνολα. Έστω A = [0,1]

. Τότε απαραίτητα $\bar{A} = \mathbb{R}$ . Έστω x = 2

και

ακολουθία στοιχείων του

. Θα δείξουμε ότι $x_n \nrightarrow x$ . Παίρνουμε το ανοικτό σύνολο $V = \mathbb{R} \setminus \{x_1,x_2,\ldots\}$ το οποίο περιέχει το

. Αν $x_n \to x$ θα έπρεπε όλα εκτός από πεπερασμένο αριθμό από αυτά να ανήκει στο

. Όμως κανένα από αυτά δεν ανήκει. Άρα πράγματι $x_n \nrightarrow x$ .

#3

Ας προσπαθήσουμε πρώτα τα εύκολα και τα υπόλοιπα (αν μείνουν) μετά τη σιέστα

Α2-β: Το ορθό

Έστω $x \in G \cap \overline{A}$ , τότε για κάθε ανοικτό σύνολο

με $x \in U$ υπάρχει ανοικτό

με $x \in V \subset U \cap G$

και επειδή $x \in \overline{A}$ θα έχουμε $V \cap A \neq \varnothing \Rightarrow U \cap \left(G \cap A\right) \neq \varnothig$

$\Rightarrow x \in \overline{G \cap A}$

Το αντίστροφο

Αν το

δεν είναι ανοικτό, τότε θα υπάρχει $x \in G$ , ώστε για κάθε ανοικτή περιοχή

του

να έχουμε

$U \cap \left(X\setminus G\right) \neq \varnothing \Rightarrow x \in \overline{\left(X \setminus G\right)}$

$\Rightarrow x \in \overline{\left(G \cap \left(X \setminus G\right)\right)}=\varnothing$ , άτοπο.

Για το Γ1-β : $A=\{(x, \frac {1}{x}), x<0\}$ και $B=\{(x,\frac {1}{x}), x>0\}$

Παρακαλώ κάποιον φίλο που γνωρίζει καλά το LATEX, ας μας πει πως βάζουμε την παύλα έτσι ώστε να φαίνεται ότι

αφορά ολόκληρη την πράξη μεταξύ των συνόλων

#4

Στο Γ2-α

Με απαγωγή σε άτοπο: Έστω ότι κάποιο $x_0 \in X \setminus f(X)$ , τότε $\rho (x_0,f(X))=a>0$ .

Θεωρούμε την ακολουθία $a_1=x_0, a_2=f(x_0),...,a_{n+1}=f(a_n),...$

Επειδή ο χώρος είναι συμπαγής η a_n

θα έχειν συγκλινουσα υπακολουθία $a_{n_i}$ , αδύνατο γιατί

$\rho (a_{n_i},a_{n_j})=\rho (x_0,f^{n_i-n_j}(x_0) \ge \rho (x_0,f(X))=a>0$ ( n_i>n_j

)

#5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:

Γ-1. (α) Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος , Α, Β κλειστά μη κενά υποσύνολα του Χ ώστε $A\bigcap{B}=\left\{ \right\}$ και Α συμπαγές. Αποδείξτε ότι $\varrho (A,B)=inf\left\{\varrho (a,b):a\in A,b\in B \right\}>0.$

(β) Δώστε παράδειγμα στον μετρικό χώρο $R^{2}$ δύο μη κενών ξένων κλειστών υποσυνόλων Α,Β ώστε
ρ(Α,Β)=0.

Το (α) είναι θεωρία. Άλλωστε είναι αρκετά γνωστό και σχετικά απλό. Βασίζεται στο ότι αν $\rho (A, B)=0$ τότε υπάρχει ακολουθία $a_n \in A$ με $\rho (a_n, B) < \frac {1}{n}$ . Μετά θεωρούμε συγκλίνουσα υπακολουθία της a_n

.

(β) $A=\mathbb N, \,\, B= \{n + \frac{1}{n} : n \in \mathbb N \}$ Οι λεπτομέρεις είναι άμεσες.

#6

s.kap έγραψε: Παρακαλώ κάποιον φίλο που γνωρίζει καλά το LATEX, ας μας πει πως βάζουμε την παύλα έτσι ώστε να φαίνεται ότι

αφορά ολόκληρη την πράξη μεταξύ των συνόλων

Χρησιμοποιώντας την εντολή \overline{}. Π.χ. αν γράψω

\overline{G \cap A}

θα εμφανιστεί $\overline{G \cap A}$

#7

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: Α-4. (α) Έστω Χ τοπολογικός χώρος , $A_{i}\subset X$ συνεκτικό για κάθε $i\in I$ και $\bigcap{_{i \in I}}A_{i}\neq \left\{ \right\}.$
Αποδείξτε ότι το σύνολο $\bigcup{_{i \in I}}A_{i}$ είναι συνεκτικό.

(β) Αν Χ και Y είναι τοπολογικοί χώροι συνεκτικοί , αποδείξτε (με την βοήθεια του (α) ) ότι και το γινόμενο Χ*Y είναι χώρος συνεκτικός.

(α) Ας υποθέσουμε ότι το $\displaystyle{ \bigcup_{i \in I} A_i}$ δεν είναι συνεκτικό. Τότε υπάρχουν μη κενά ανοικτά υποσύνολα U,V

στο $\displaystyle{ \bigcup_{i \in I} A_i}$ ώστε $U \cup V = \bigcup_{i \in I} A_i$ και $U \cap V = \emptyset$ . Για κάθε $i \in I$ ορίζω $U_i = A_i \cap U$ και $V_i = A_i \cap V$ . Τα U_i,V_i

είναι ανοικτά υποσύνολα του A_i

και προφανώς $U_i \cap V_i = \emptyset$ . Επίσης $U_i \cup V_i = A_i$ . Πράγματι το $U_i \cap V_i \subseteq A_i$ είναι προφανές ενώ για το αντίστροφο, αν $x \in A_i$ τότε χωρίς βλάβη της γενικότητας $x \in U$ και άρα $x \in U_i$ . Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι για κάποιο $i \in I$ έχουμε $U_i,V_i \neq \emptyset$ .

Έστω $\displaystyle{y \in \bigcap_{i \in I}A_{i}}$ . Χωρίς βλάβη της γενικότητας $y \in U$ και άρα $y \in U_i$ για κάθε $i \in I$ . Αρκεί λοιπόν να δείξω ότι για κάποιο $i \in I$ έχουμε $V_i \neq \emptyset$ . Αυτό όμως είναι άμεσο αφού το

είναι μη κενό και για $z \in V$ έχουμε $z \in A_i$ για κάποιο $i \in I$ . Όμως $z \notin U_i$ αφού τότε θα είχαμε $z \in U$ και άρα $U \cap V \neq \emptyset$ . Άρα $z \in V_i$ και άρα $V_i \neq \emptyset$ .

(β) Μπορούμε να υποθέσουμε πως τα X,Y

είναι μη κενά αλλιώς το συμπέρασμα είναι προφανές αφού τότε θα είχαμε $X \times Y = \emptyset$ το οποίο εξ' ορισμού είναι συνεκτικό

Για κάθε $x \in X,y \in Y$ τα $\{x\} \times Y$ και $X \times \{y\}$ είναι συνεκτικά και έχουν μη κενή τομή άρα η ένωσή τους S(x,y)

είναι συνεκτική. Κρατούμε τώρα το

σταθερό. Επειδή για κάθε $y \in Y$ το S(x,y)

είναι συνεκτικό και επειδή επιπλέον $\displaystyle{\bigcap_{y \in Y} S(x,y) = \{x\} \times Y}$ είναι μη κενό, τότε η ένωση $\displaystyle{\bigcup_{y \in Y} S(x,y) = X \times Y}$ είναι συνεκτική όπως θέλαμε να δείξουμε.

#8

Β3-α

Το ορθό είναι προφανές. Ας δούμε το αντίστροφο

Έστω

ένα κλειστό υποσύνολο του $\mathbb{R}$ , τότε

$\displaystyle{f^{-1}\left(K\right)= \bigcup_{i=1}^n\left(K_i \cap f^{-1}\left(K\right)\right)=\bigcup_{i=1}^nf_i^{-1}\left(K\right)}$

και επειδή καθε ένα από τα $f_i^{-1}\left(K\right)$ είναι κλειστό, λόγω της συνέχειας των f_i

, θα είναι κλειστό και το

$f^{-1}\left(K\right)$ , συνεπώς το ζητούμενο απεδείχθη.

#9

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:24 Απριλίου, 1977

Νεγρεπόντης Στυλιανός

(β) Έστω Χ τοπολογικός χώρος , $F_{i}\subset X$ κλειστό για κάθε $i \in I$ και $X=\bigcup{_{i\in I}F_{i}}$ ώστε για κάθε $x \in X$ υπάρχει U περιοχή του x ώστε το σύνολο $\left\{i\in I:U\bigcap{F_{i}\neq \left\{ \right\}} \right\}$ να είναι πεπερασμένο. Αποδείξτε ότι μια συνάρτηση $f:X\rightarrow R$ είναι συνεχής αν και μόνο αν $f/F_{i}$ συνεχής για κάθε $i \in I$

Το ορθό είναι προφανές. Για το αντίστροφο:

Θα αποδείξουμε τη συνέχεια στο τυχαίο $x \in X$ . Υποθέτουμε ότι $J=\{i_1,i_2,...,i_n\}$

είναι το πεπερασμένο σύνολο δεικτών για τους οποίους $U \cap F_{i_k} \neq \varnothing$

ενώ $U \cap F_i= \varnothing, \forall i \notin J$ , όπου

είναι η ανοικτή περιοχή που

αναφέρει το πρόβλημα.

Έστω τώρα

μία ανοικτή περιοχή του f(x)

και

το υποσύνολο του

το οποίο

έχει την ιδιότητα $i \in J^* \Leftrightarrow x \in F_i$

Τότε λόγω της συνέχειας των $F_i, i \in J^*$ υπάρχει ανοικτό υποσύνολο

U_i

του

με $f(U_i) \subset V$

Άρα υπάρχει ανοικτό υποσύνολο U_i^*

, ώστε $U_i=U_i^* \cap F_i$

Συνεπώς το σύνολο $\displaystyle{U^*=U\cap \left(\bigcap_{i \in J^*}U_i^*\right)}$ , είναι μία ανοικτή

περιοχή του

για την οποία $f\left(U^*\right) \subset V$ , άρα η

είναι συνεχής στο

.

Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Re: Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Re: Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Re: Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Re: Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Re: Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Re: Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Re: Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Re: Εξετάσεις στην Τοπολογία, 1977

Μέλη σε σύνδεση