Τοπικά σταθερή συνάρτηση

Συντονιστής: Σεραφείμ

Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Τοπικά σταθερή συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Τετ Φεβ 18, 2015 7:52 am

Καλημέρα.

Έστω f:X \to Y συνεχής συνάρτηση μεταξύ τοπολογικών χώρων. Υποθέτουμε ότι ο X είναι συνεκτικός και ότι η f είναι τοπικά σταθερή. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.


Σίλης
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: Δευ Δεκ 01, 2014 6:50 pm

Re: Τοπικά σταθερή συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σίλης » Τετ Φεβ 18, 2015 10:36 pm

Απ' ότι καταλαβαίνω, η f είναι τοπικά σταθερή, παναπεί για κάθε x \in X υπάρχει γειτονιά U_x \subseteq X και στοιχείο y_x \in Y, έτσι ωστε x \in U_x και f(x') = y_x για κάθε x' \in U_x. Και ο χώρος Χ είναι συνεκτικός, παναπεί για κάθε δύο μή κενά ανοιχτά σύνολα A, B \subseteq X, εάν A \cup B = X, τότε αναγκαστικά υπάρχει κάποιο x \in X τέτοιο ωστε x \in A \cap B.

Ας είναι x_0 \in X οποιοδήποτε στοιχείο (άν ο X είναι κενός, τότε δέν έχουμε να πούμε και πολλά). Απο την τοπική σταθερότητα παίρνουμε γειτονιά U_0 \subseteq X και στοιχείο y_0 \in Y, με

x_0 \in U_0 και f(x) = y_0 για κάθε x \in U_0.

Κάνουμε κάτι παραπάνω απ' το να πάρουμε το U_0, συγκεκριμένα, θεωρούμε το σύνολο U := \{x \in X \mid f(x) = y_0\}· προφανώς U_0 \subseteq U.

Το σύνολο U είναι ανοιχτό, αφού μπορεί να ιδωθεί ώς η ένωση όλων των U_{x} που δίνονται απ' την τοπική σταθερότητα, οπου x \in U. Απ' την άλλη, το σύνολο U είναι επίσης κλειστό: άς είναι x_b \in X ένα οριακό σημείο του U· ξανά απ' την τοπική σταθερότητα, παίρνουμε U_b \subseteq X και y_b \in Y, τέτοια ωστε

f(x) = y_b για κάθε x \in U_b·

απ' την οριακότητα όμως θα υπάρχει x' \in U \cap U_b· επειδή η f είναι συνάρτηση (δηλαδή καλά ορισμένη), έχουμε αναγκαστικά οτι

f(x_b) = f(x') \Rightarrow y_b = y_0,

που παναπεί οτι x_b \in U επίσης, απ' τον ορισμό του U.

Καθώς λοιπόν το U είναι (καί) κλειστό, το συμπλήρωμά του U^c θα είναι ανοιχτό, και βρήκαμε άρα δύο ανοιχτά που καλύπτουν τον χώρο: U \cup U^c = X. Το συμπλήρωμα όμως οφείλει να είναι το κενοσύνολο, γιατι αλλιώς, λόγω συνεκτικότητας, θα είχαμε κάποιο x \in X με x \in U \cap U^c = \emptyset, πού 'ναι αντίφαση. Συνεπώς, U = X, που σημαίνει, απ' τον ορισμό του U, οτι f(x) = y_0 για κάθε x \in X, πού 'ν' αυτό που θέλαμε.


Ερώτημα 1: Μας χρειάζεται όντως η συνέχεια της f;...

Ερώτημα 2: Ας είναι f : X \to Y μία συνεχής συνάρτηση τοπολογικών χώρων, και P(f,x) μία ιδιότητα της f στο στοιχείο x \in X. Άς λέμε την ιδιότητα τοπική όποτε για κάθε x \in X υπάρχει ανοιχτό U \subseteq X με x \in U οπου η P(f,x) ισχύει και άς τη λέμε ολική άν ισχύει για κάθε x \in X. Ποιές είναι κατάλληλες συνθήκες τις οποίες μπορούμε να απαιτήσουμε απο τους τοπολογικούς χώρους X και Y, ωστε να μπορούμε να δείχνουμε οτι «άν η f είναι τοπικά P τότε είναι και ολικά P»; Μ' άλλα λόγια, πότε επεκτείνεται μία τοπική τοπολογική ιδιότητα σε ολική;

Το δεύτερο γενικό ερώτημα είναι που μ' έκανε να γράψω την απάντηση. Με τριβελίζει απο χρόνια αλλα ποτέ δεν τό 'βαλα κάτω να το ξεδιαλύνω. Στην συγκεκριμένη περίπτωση, η συνεκτικότητα του X αρκεί ωστε η τοπική σταθερότητα για μία συνάρτηση να είναι και ολική. Αλλα η συνεκτικότητα δέν μας κάνει πάντα τη δουλειά! Πιχί, μία αφελής ιδιότητα για X = Y = \mathbb{R}, θα ήταν να πούμε

P(f, x) άν και μόνο άν \exists_{y \in \mathbb{R}} f(x) < y.

Φανερά, κάθε συνεχής συνάρτηση είναι τοπικά P, αλλα όχι και ολικά. (χάνω κάτι; τέτοιες ώρες τέτοια λόγια γιατί...)

Τελοσπάντων, το ερώτημα είναι ομολογουμένως ασαφές, αλλα άμα κάποιος έχει ιδέες, πλίζ, θα είμαι υπόχρεος.


Άβαταρ μέλους
AlexandrosG
Δημοσιεύσεις: 466
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 22, 2009 5:31 am
Επικοινωνία:

Re: Τοπικά σταθερή συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AlexandrosG » Τετ Φεβ 18, 2015 11:02 pm

Πολύ ωραία λύση.

Έχεις δίκιο ότι δεν χρειάζεται η συνέχεια. Ο Y δεν χρειάζεται ούτε καν να έχει τοπολογία, αφού δεν το χρησιμοποίησες κάπου. Έτσι όπως έδωσα το πρόβλημα το ότι το σύνολο U που χρησιμοποίησες είναι κλειστό είναι λίγο πιο εύκολο διότι \displaystyle{U=f^{-1}(\{y_0\})}. (Βέβαια πρέπει και τα μονοσύνολα να είναι κλειστά αλλά αυτό είναι ασθενής συνθήκη). Πάντως με τη λύση σου το αποτέλεσμα ισχύει για κάθε σύνολο Y οπότε μια χαρά.

Δεν ξέρω την απάντηση στο δεύτερο ερώτημα, το οποίο είναι όντως πολύ γενικό. Θα έλεγα ότι διαφορετική ιδιότητα χρειάζεται και διαφορετική συνθήκη. Αλλά δεν γνωρίζω.


Σίλης
Δημοσιεύσεις: 64
Εγγραφή: Δευ Δεκ 01, 2014 6:50 pm

Re: Τοπικά σταθερή συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σίλης » Πέμ Φεβ 19, 2015 1:29 am

AlexandrosG έγραψε:Έτσι όπως έδωσα το πρόβλημα το ότι το σύνολο U που χρησιμοποίησες είναι κλειστό είναι λίγο πιο εύκολο διότι \displaystyle{U=f^{-1}(\{y_0\})}.
Ώπ, δίκιο εχεις!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης