Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

mpanagiotou

Καλησπέρα σας, σας ευχαριστώ πολύ που με δεχθήκατε στο φόρουμ σας ονομάζομαι Μαρία και σπουδάζω μαθηματικά .
Ήθελα να ρωτήσω για μια άσκηση γιατί παρόλου που έχω ψάξει δεν μπορώ να βγάλω άκρη.
Άσκηση
Ξέρουμε ότι μπορούμε να ορίσουμε το μέτρο της συνάντησης f μέσω του εσωτερικού γινομένου :
μέτρο της

ισούται με $\left( f\cdot f\right) ^{\frac{1}{2}}$ .
Αν όμως αρχίσουμε με τον ορισμό του μέτρου της

.
Μέτρο της

ισούται $\int_{\alpha }^{\beta }\left\vert f\left( t\right) \right\vert ^{2}dt$
μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιώντας μέτρα συναρτησεων? δηλαδή να ορίσουμε το $f\cdot g$ ως συνάρτηση των μέτρων

και μέτρο

κτλ.
Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας Μαρία

mpanagiotou έγραψε: Ξέρουμε ότι μπορούμε να ορίσουμε το μέτρο της συνάντησης f μέσω του εσωτερικού γινομένου :
μέτρο της ισούται με $\left( f\cdot f\right) ^{\frac{1}{2}}$ .
Αν όμως αρχίσουμε με τον ορισμό του μέτρου της .
Μέτρο της ισούται $\int_{\alpha }^{\beta }\left\vert f\left( t\right) \right\vert ^{2}dt$
μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιώντας μέτρα συναρτησεων? δηλαδή να ορίσουμε το $f\cdot g$ ως συνάρτηση των μέτρων και μέτρο κτλ.

Ναι, μπορούμε.

Σε χώρους πάνω από το $\mathbb R$ ο ορισμός είναι από την ταυτότητα

$\displaystyle{ f\cdot g = \frac {1}{4} \left \vert \left \vert f+g \right \vert \right \vert ^ 2 - \frac {1}{4} \left \vert \left \vert f-g \right \vert \right \vert ^ 2 }$

ενώ πάνω από το $\mathbb C$ ο ορισμός είναι από την ταυτότητα

$\displaystyle{ f\cdot g = \frac {1}{4} \left \vert \left \vert f+g \right \vert \right \vert ^ 2 - \frac {1}{4} \left \vert \left \vert f-g \right \vert \right \vert ^ 2 - \frac {i}{4} \left \vert \left \vert f+ig \right \vert \right \vert ^ 2 - \frac {i}{4} \left \vert \left \vert f-ig \right \vert \right \vert ^ 2 }$

Οι πράξεις είναι ρουτίνα αλλά πρέπει να γίνουν με προσοχή για να μην χάσεις πρόσημα. Βασικό στοιχείο είναι ότι πάνω από το $\mathbb R$ , το εσωτερικό γινόμενο είναι γραμμικό ως προς κάθε μεταβλητή χωριστά ενώ πάνω από το $\mathbb C$ είναι γραμμική ως προς την πρώτη μεταβλητή αλλά συζυγής γραμμική (conjugate linear) ως προς την δεύτερη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Για την "συζυγή γραμμικότητα" βρήκα αυτό (6η γραμμή του ορισμού)

Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Re: Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Re: Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Μέλη σε σύνδεση