Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Συντονιστής: Σεραφείμ

mpanagiotou
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Απρ 19, 2015 10:46 pm

Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mpanagiotou » Κυρ Απρ 19, 2015 11:00 pm

Καλησπέρα σας, σας ευχαριστώ πολύ που με δεχθήκατε στο φόρουμ σας ονομάζομαι Μαρία και σπουδάζω μαθηματικά .
Ήθελα να ρωτήσω για μια άσκηση γιατί παρόλου που έχω ψάξει δεν μπορώ να βγάλω άκρη.
Άσκηση
Ξέρουμε ότι μπορούμε να ορίσουμε το μέτρο της συνάντησης f μέσω του εσωτερικού γινομένου :
μέτρο της f ισούται με \left( f\cdot f\right) ^{\frac{1}{2}} .
Αν όμως αρχίσουμε με τον ορισμό του μέτρου της f.
Μέτρο της f ισούται \int_{\alpha }^{\beta }\left\vert f\left( t\right) \right\vert ^{2}dt
μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιώντας μέτρα συναρτησεων? δηλαδή να ορίσουμε το f\cdot g ως συνάρτηση των μέτρων f και μέτρο g κτλ.
Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας Μαρία
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Δευ Απρ 20, 2015 8:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση κώδικα LaTeX


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10440
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 21, 2015 5:42 pm

mpanagiotou έγραψε: Ξέρουμε ότι μπορούμε να ορίσουμε το μέτρο της συνάντησης f μέσω του εσωτερικού γινομένου :
μέτρο της f ισούται με \left( f\cdot f\right) ^{\frac{1}{2}} .
Αν όμως αρχίσουμε με τον ορισμό του μέτρου της f.
Μέτρο της f ισούται \int_{\alpha }^{\beta }\left\vert f\left( t\right) \right\vert ^{2}dt
μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιώντας μέτρα συναρτησεων? δηλαδή να ορίσουμε το f\cdot g ως συνάρτηση των μέτρων f και μέτρο g κτλ.
Ναι, μπορούμε.

Σε χώρους πάνω από το \mathbb R ο ορισμός είναι από την ταυτότητα

\displaystyle{ f\cdot g = \frac {1}{4} \left \vert \left \vert  f+g \right \vert  \right  \vert   ^ 2 - \frac {1}{4} \left \vert \left \vert  f-g \right \vert  \right  \vert   ^ 2 }

ενώ πάνω από το \mathbb C ο ορισμός είναι από την ταυτότητα

\displaystyle{ f\cdot g = \frac {1}{4} \left \vert \left \vert  f+g \right \vert  \right  \vert   ^ 2 - \frac {1}{4} \left \vert \left \vert  f-g \right \vert  \right  \vert   ^ 2 - \frac {i}{4} \left \vert \left \vert  f+ig \right \vert  \right  \vert   ^ 2 - \frac {i}{4} \left \vert \left \vert  f-ig \right \vert  \right  \vert   ^ 2 }

Οι πράξεις είναι ρουτίνα αλλά πρέπει να γίνουν με προσοχή για να μην χάσεις πρόσημα. Βασικό στοιχείο είναι ότι πάνω από το \mathbb R , το εσωτερικό γινόμενο είναι γραμμικό ως προς κάθε μεταβλητή χωριστά ενώ πάνω από το \mathbb C είναι γραμμική ως προς την πρώτη μεταβλητή αλλά συζυγής γραμμική (conjugate linear) ως προς την δεύτερη.

Φιλικά,

Μιχάλης


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10440
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Απρ 21, 2015 5:52 pm

Για την "συζυγή γραμμικότητα" βρήκα αυτό (6η γραμμή του ορισμού)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης