Σελίδα 1 από 1

Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 19, 2015 11:00 pm
από mpanagiotou
Καλησπέρα σας, σας ευχαριστώ πολύ που με δεχθήκατε στο φόρουμ σας ονομάζομαι Μαρία και σπουδάζω μαθηματικά .
Ήθελα να ρωτήσω για μια άσκηση γιατί παρόλου που έχω ψάξει δεν μπορώ να βγάλω άκρη.
Άσκηση
Ξέρουμε ότι μπορούμε να ορίσουμε το μέτρο της συνάντησης f μέσω του εσωτερικού γινομένου :
μέτρο της f ισούται με \left( f\cdot f\right) ^{\frac{1}{2}} .
Αν όμως αρχίσουμε με τον ορισμό του μέτρου της f.
Μέτρο της f ισούται \int_{\alpha }^{\beta }\left\vert f\left( t\right) \right\vert ^{2}dt
μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιώντας μέτρα συναρτησεων? δηλαδή να ορίσουμε το f\cdot g ως συνάρτηση των μέτρων f και μέτρο g κτλ.
Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας Μαρία

Re: Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Απρ 21, 2015 5:42 pm
από Mihalis_Lambrou
mpanagiotou έγραψε: Ξέρουμε ότι μπορούμε να ορίσουμε το μέτρο της συνάντησης f μέσω του εσωτερικού γινομένου :
μέτρο της f ισούται με \left( f\cdot f\right) ^{\frac{1}{2}} .
Αν όμως αρχίσουμε με τον ορισμό του μέτρου της f.
Μέτρο της f ισούται \int_{\alpha }^{\beta }\left\vert f\left( t\right) \right\vert ^{2}dt
μπορούμε να ορίσουμε το εσωτερικό γινόμενο χρησιμοποιώντας μέτρα συναρτησεων? δηλαδή να ορίσουμε το f\cdot g ως συνάρτηση των μέτρων f και μέτρο g κτλ.
Ναι, μπορούμε.

Σε χώρους πάνω από το \mathbb R ο ορισμός είναι από την ταυτότητα

\displaystyle{ f\cdot g = \frac {1}{4} \left \vert \left \vert  f+g \right \vert  \right  \vert   ^ 2 - \frac {1}{4} \left \vert \left \vert  f-g \right \vert  \right  \vert   ^ 2 }

ενώ πάνω από το \mathbb C ο ορισμός είναι από την ταυτότητα

\displaystyle{ f\cdot g = \frac {1}{4} \left \vert \left \vert  f+g \right \vert  \right  \vert   ^ 2 - \frac {1}{4} \left \vert \left \vert  f-g \right \vert  \right  \vert   ^ 2 - \frac {i}{4} \left \vert \left \vert  f+ig \right \vert  \right  \vert   ^ 2 - \frac {i}{4} \left \vert \left \vert  f-ig \right \vert  \right  \vert   ^ 2 }

Οι πράξεις είναι ρουτίνα αλλά πρέπει να γίνουν με προσοχή για να μην χάσεις πρόσημα. Βασικό στοιχείο είναι ότι πάνω από το \mathbb R , το εσωτερικό γινόμενο είναι γραμμικό ως προς κάθε μεταβλητή χωριστά ενώ πάνω από το \mathbb C είναι γραμμική ως προς την πρώτη μεταβλητή αλλά συζυγής γραμμική (conjugate linear) ως προς την δεύτερη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Re: Άσκηση εσωτερικό γινόμενο και μέτρο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Απρ 21, 2015 5:52 pm
από Mihalis_Lambrou
Για την "συζυγή γραμμικότητα" βρήκα αυτό (6η γραμμή του ορισμού)