Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

Συντονιστής: Σεραφείμ

Χρήστος Παπατζίμης
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 30, 2015 10:14 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα,Άθυρα Πέλλας

Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Παπατζίμης » Πέμ Ιούλ 30, 2015 10:24 am

Ποιο από τα παρακάτω ισχύει;

α) \mathbb{R} \prec \mathbb{R} \times \mathbb{R}  \prec \mathcal{P}(\mathbb{R})

β) \mathbb{R} \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}  \prec \mathcal{P}(\mathbb{R})

γ) \mathbb{R} \prec \mathbb{R} \times \mathbb{R} \cong \mathcal{P}(\mathbb{R})
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Παπατζίμης σε Πέμ Ιούλ 30, 2015 12:45 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


e ^ { i \pi } + 1 = 0
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 30, 2015 10:49 am

Μόνο το (β) ισχύει. Ισχύει μάλιστα ότι για κάθε άπειρο σύνολο X, τα X και X \times X είναι ισοπληθικά.

Το (γ) δεν ισχύει. Αποδεικνύεται με το γνωστό διαγώνιο επιχείρημα του Cantor. (Αφού πρώτα δείξουμε το (β).)


Χρήστος Παπατζίμης
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 30, 2015 10:14 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα,Άθυρα Πέλλας

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Παπατζίμης » Πέμ Ιούλ 30, 2015 10:50 am

Ισχύει ότι το \mathbb{R} είναι ισοδύναμο με κάθε δύναμή του;


e ^ { i \pi } + 1 = 0
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 30, 2015 11:00 am

Ναι. Αποδεικνύεται επαγωγικά αρκεί φυσικά να δείξεις την περίπτωση \mathbb{R} \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}. Για αυτήν την περίπτωση είναι πιο απλό να βρεθεί 1 προς 1 συνάρτηση από το (0,1) \times (0,1) στο (0,1). Μια τέτοια συνάρτηση παίρνουμε στέλνοντας το ζεύγος (x,y) = (0.x_1x_2\ldots,0.y_1y_2\ldots) στο .....
Συμπλήρωσε το κενό. :)
Ισχύει επίσης το πιο ισχυρό \mathbb{R} \cong \mathbb{R}^{\mathbb{N}}.


Χρήστος Παπατζίμης
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 30, 2015 10:14 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα,Άθυρα Πέλλας

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Παπατζίμης » Πέμ Ιούλ 30, 2015 11:06 am

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις και για την αναζήτηση αυτής της 1-1 απεικόνισης.


e ^ { i \pi } + 1 = 0
Χρήστος Παπατζίμης
Δημοσιεύσεις: 7
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 30, 2015 10:14 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα,Άθυρα Πέλλας

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Παπατζίμης » Πέμ Ιούλ 30, 2015 11:09 am

Eπίσης,τι είναι το \mathbb{R} υψωμένο εις το σύνολο \mathbb{N}; εκτός κι αν εννοείτε το \mathbb{R} εις την κάθε φυσική δύναμη;


e ^ { i \pi } + 1 = 0
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7804
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απορία σχετικά με την ισοπληθικότητα συνόλων

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Ιούλ 30, 2015 11:17 am

Εννοούμε το καρτεσιανό γινόμενο \mathbb{N} αντιτύπων του \mathbb{R}. Δηλαδή όλα τα (r_1,r_2,\ldots) ώστε r_i \in \mathbb{R}.

Πιο αυστηρά, με A^B εννοούμε το σύνολο όλων των συναρτήσεων από το B στο A. Για πεπερασμένα σύνολα ισχύει ότι |A^B| = |A|^{|B|} αφού για κάθε ένα από τα στοιχεία του B έχουμε |A| επιλογές για το που μπορεί να πάει.

Έτσι το \mathbb{R}^{\mathbb{N}} είναι όλες οι συναρτήσεις f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} τις οποίες ταυτίζουμε με το πιο πάνω καρτεσιανό γινόμενο που έγραψε στέλνοντας την συνάρτηση f στο (f(1),f(2),f(3),\ldots).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης