Σελίδα 1 από 1

Εξωτερικό γινόμενο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 19, 2015 3:28 pm
από Aladdin
Εαν \displaystyle{r = a\cos \omega t + b\cos \omega t}, όπου \displaystyle{a,b,\omega } σταθερές ποσότητες , να ελέγξετε αν ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις
α) \displaystyle{r \times dr/dt = 2\omega a \times b}
β) \displaystyle{{d^2}r/d{t^2} + {\omega ^2}r = 0}
Ομοίως αν ισχύει ότι \displaystyle{da/dt = \omega  \times \alpha } και \displaystyle{db/dt = \omega  \times b}, να ελέγξετε αν ισχύει η σχέση\displaystyle{d(a \times b)/dt = \omega  \times (a \times b)}

Re: Εξωτερικό γινόμενο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 19, 2015 3:49 pm
από Mihalis_Lambrou
Aladdin έγραψε:Εαν \displaystyle{r = a\cos \omega t + b\cos \omega t}, όπου \displaystyle{a,b,\omega } σταθερές ποσότητες , να ελέγξετε αν ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις
α) \displaystyle{r \times dr/dt = 2\omega a \times b}
β) \displaystyle{{d^2}r/d{t^2} + {\omega ^2}r = 0}
Ομοίως αν ισχύει ότι \displaystyle{da/dt = \omega  \times \alpha } και \displaystyle{db/dt = \omega  \times b}, να ελέγξετε αν ισχύει η σχέση\displaystyle{d(a \times b)/dt = \omega  \times (a \times b)}
Έτσι όπως είναι, η εκφώνηση θέλει διευκρίνηση γιατί τα a, b (και άρα το r ) πρέπει να είναι διανύσματα. Π.χ. θα έπρεπε να ήταν \displaystyle{\vec {r} =  (\cos \omega t)\vec a+ (\cos \omega t) \vec {b} } ή τουλάχιστον (για a,b πραγματικές σταθερές) να ήταν \displaystyle{\vec {r} =  (a\cos \omega t) \vec { i} + (b\cos \omega t) \vec {j} } ή κάτι αντίστοιχο. Από 'κει και πέρα πρόκειται για άσκηση ρουτίνας, γι' αυτό θα δώσω μόνο υπόδειξη:

Για το \vec r που έγραψα είναι \displaystyle{\frac {d\vec {r} }{dt} = (-\omega \sin \omega t)\vec a+ (-\omega \sin \omega t) \vec {b} }. Βρες τώρα τα \displaystyle{\vec r \times \frac {d\vec {r} }{dt}, \, 2\omega \vec a \times \vec b} και δες αν είναι ίσα.

Όμοια για το β) και τα υπόλοιπα. Για την λύση δεν θα χρειαστεί να σκεφτείς τίποτα, αλλά προχωράς με έτοιμους και απλούς τύπους.

Edit: Έκανα διόρθωση στην αρχική μου απάντηση.