Απορία

Συντονιστής: Σεραφείμ

S3i
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Απορία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S3i » Παρ Ιαν 29, 2016 8:47 am

\binom {n} {1} - \frac{1}{2} \binom {n} {2} + \frac {1} {3} \binom {n}{3} - ... +(-1)^{n+1}\frac{1}{n} \binom{n}{n}= 1+ \frac{1}{2} + ... +\frac{1}{n}

Έχω αποδείξει ήδη \binom{n}{1} - \binom{n}{2} + \binom{n}{3} - ... + (-1)^{n+1}\binom{n}{n} = 1

Δεν πρέπει με κάποιο τρόπο να εμφανίσω τους συντελεστές σε αυτό που έχω ήδη αποδείξει ώστε να πάρω την ισότητα?

Είμαι σε καλό δρόμο?


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1999
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Απορία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Ιαν 29, 2016 9:10 am

Ένας τρόπος να αποδείξουμε την ταυτότητα είναι :
Παίρνουμε δυωνιμικό ανάπτυγμα με μεταβλητή.
Διαιρούμε με την μεταβλητή και ολοκληρώνουμε από 0 εως 1.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3520
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Απορία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 29, 2016 9:14 am

S3i έγραψε:\binom {n} {1} - \frac{1}{2} \binom {n} {2} + \frac {1} {3} \binom {n}{3} - ... +(-1)^{n+1}\frac{1}{n} \binom{n}{n}= 1+ \frac{1}{2} + ... +\frac{1}{n}
Μία πρώτη προσέγγιση του θέματος αλλά σίγουρα θα υπάρχει και καλύτερη , π.χ συνδυαστική.

\displaystyle{\begin{aligned} 
\mathcal{H}_n &=\int_{0}^{1}\frac{1-x^n}{1-x}\, {\rm d}x \\  
 &\overset{y= 1-x}{=\! =\! =\! =\!}\int_{0}^{1}\frac{1-\left ( 1-y \right )^n}{y}\, {\rm d}y \\  
 &=\bigintsss_{0}^{1}\left [ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\binom{n}{k}y^{k-1} \right ]\, {\rm d}y \\  
 &= \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}\binom{n}{k} 
\end{aligned}}

Σίγουρα αυτή η απόδειξη υπάρχει κάπου στο internet. Βέβαια προϋποθέτει να γνωρίζουμε ότι ο n-ιοστός αρμονικός όρος έχει ολοκληρωτική αναπαράσταση την ακόλουθη:

\displaystyle{\mathcal{H}_n = \int_0^1 \frac{1-x^n}{1-x}\, {\rm d}x}

Υποθέτω πως υπάρχει και συνδυαστική απόδειξη καθώς υπάρχει άμεση σύνδεση με το binomial transform. Θα χαρώ να δω μία τέτοια.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
S3i
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Re: Απορία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S3i » Παρ Ιαν 29, 2016 11:04 am

Ευχαριστώ για την απόδειξη.
Προσπαθώ να κάνω και μια διαφορετική.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3520
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Απορία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιαν 29, 2016 12:08 pm

S3i έγραψε: Προσπαθώ να κάνω και μια διαφορετική.
Προσωπικά δε γνωρίζω άλλη απόδειξη οπότε θα χαρώ να δω κάποια. Επίσης, ως συνέπεια του binomial inversion theorem παίρνουμε και τη σχέση:

\displaystyle{\frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \binom{n}{k} \mathcal{H}_{k}}

όπου \mathcal{H}_k ο k-ιοστός αρμονικός όρος.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7882
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απορία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιαν 29, 2016 11:19 pm

Με επαγωγή στο n.

Ας γράψουμε L_n,R_n για το αριστερό και δεξί μέλος της σχέσης. Έχουμε L_1=R_1 και για το επαγωγικό βήμα αρκεί να δειχθεί ότι L_{n+1}-L_n = R_{n+1}-R_n. Είναι \displaystyle{R_{n+1}-R_n = \frac{1}{n+1}.} Επίσης για κάθε k έχουμε

\displaystyle{ \frac{1}{k}\binom{n+1}{k} - \frac{1}{k}\binom{n}{k} = \frac{1}{k}\binom{n}{k-1} = \frac{1}{n+1}\binom{n+1}{k}}

Άρα

\begin{aligned}  
L_{n+1}-L_n &= \frac{1}{n+1}\left[ \binom{n+1}{1} - \binom{n+1}{2} + \cdots + (-1)^{n+2}\binom{n+1}{n+1}\right] \\ 
&= \frac{1}{n+1}\left[\binom{n+1}{0} -(1-1)^{n+1} \right] \\ 
&= \frac{1}{n+1} 
\end{aligned}}

Επεξεργασία: Διόρθωση τυπογραφικού. (Ευχαριστώ τον Σταύρο που το πρόσεξε.)
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Σάβ Ιαν 30, 2016 7:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


S3i
Δημοσιεύσεις: 27
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 20, 2015 4:26 pm

Re: Απορία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S3i » Σάβ Ιαν 30, 2016 4:47 am

Σας ευχαριστώ πολύ. Είχα προσπαθήσει μια απόδειξη με επαγωγή και τριγωνική ιδιότητα του Pascal . Η παρατήρηση σας μου έλειπε.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7882
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Απορία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Φεβ 01, 2016 12:28 am

Ας δούμε και μια απόδειξη με χρήση της αρχής εγκλεισμού-αποκλεισμού:

Σε κάθε υποσύνολο του \{1,2,\ldots,n\} μεγέθους k \geqslant 1 δίνω βάρος \displaystyle{w_k = \frac{1}{k\binom{n}{k}}.}

Το άθροισμα των βαρών όλων των υποσυνόλων είναι \displaystyle{ \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}w_k = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},} δηλαδή το δεξί μέλος της ζητούμενης σχέσης.

Για ένα υποσύνολο A του \{1,2,\ldots,n\} μεγέθους k \geqslant 1, το άθροισμα των βαρών όλων των συνόλων που περιέχουν το A είναι

\displaystyle{f(A)  = \sum_{r=0}^{n-k} \binom{n-k}{r}w_{r+k} = \sum_{r=0}^{n-k} \frac{\binom{n-k}{r}}{(r+k)\binom{n}{r+k}} = \frac{1}{k\binom{n}{k}} \sum_{r=0}^{n-k} \binom{r+k-1}{k-1} = \frac{1}{k}.}

Οπότε το άθροισμα των βαρών όλων των υποσυνόλων είναι από την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού

\displaystyle{ \sum_A (-1)^{|A|-1} f(A) = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k} \binom{n}{k},}

δηλαδή το αριστερό μέλος της ζητούμενης σχέσης.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης