Ισχυρισμός
Συντονιστής: Σεραφείμ
Ισχυρισμός
Είναι αληθής ή όχι ο παρακάτω ισχυρισμός:
Αν είναι θετικός πραγματικός και ακέραιος , τότε δεν υπάρχουν συναρτήσεις ,
ώστε να ισχύει η , για κάθε , με *
*Συμπλήρωσα το , το οποίο από αβλεψία μου διέφυγε. Ευχαριστώ τον Δημήτρη που το επεσήμανε.
Αν είναι θετικός πραγματικός και ακέραιος , τότε δεν υπάρχουν συναρτήσεις ,
ώστε να ισχύει η , για κάθε , με *
*Συμπλήρωσα το , το οποίο από αβλεψία μου διέφυγε. Ευχαριστώ τον Δημήτρη που το επεσήμανε.
Σπύρος Καπελλίδης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Ισχυρισμός
Είναι αληθής:
Έστω συναρτήσεις .
Αρκεί να βρω με και για κάθε .
Διαμερίζω το ως εξής όπου .
Ξεκινώ με .
Επειδή το είναι υπεραριθμήσιμα άπειρο, και επειδή το πλήθος των είναι αριθμήσιμο, υπάρχει και υπεραριθμήσιμο ώστε .
Επειδή το είναι υπεραριθμήσιμα άπειρο, και επειδή το πλήθος των είναι αριθμήσιμο, υπάρχει και υπεραριθμήσιμο ώστε .
Προχωρώντας επαγωγικά βρίσκω και ώστε .
Τώρα παίρνω οποιαδήποτε δύο διαφορετικά στοιχεία του και παρατηρώ ότι για κάθε έχουμε , άρα και άρα όντως όπως θέλαμε να δείξουμε.
Έστω συναρτήσεις .
Αρκεί να βρω με και για κάθε .
Διαμερίζω το ως εξής όπου .
Ξεκινώ με .
Επειδή το είναι υπεραριθμήσιμα άπειρο, και επειδή το πλήθος των είναι αριθμήσιμο, υπάρχει και υπεραριθμήσιμο ώστε .
Επειδή το είναι υπεραριθμήσιμα άπειρο, και επειδή το πλήθος των είναι αριθμήσιμο, υπάρχει και υπεραριθμήσιμο ώστε .
Προχωρώντας επαγωγικά βρίσκω και ώστε .
Τώρα παίρνω οποιαδήποτε δύο διαφορετικά στοιχεία του και παρατηρώ ότι για κάθε έχουμε , άρα και άρα όντως όπως θέλαμε να δείξουμε.
Re: Ισχυρισμός
Αλλιώς:
Με απαγωγή σε άτοπο.
Θεωρούμε το σημείο του , τις ανοικτές σφαίρες και
το σύνολο .
Αν , τότε ,
άρα .
Συνεπώς (εύκολο) .
Άρα η απεικόνιση με είναι 1-1 και επί, συνεπώς το είναι υπεραριθμήσιμο, το οποίο είναι
άτοπο, γιατί οποιοδήποτε σύνολο ανοικτών και ξένων μεταξύ τους υποσυνόλων του είναι αριθμήσιμο.
Με απαγωγή σε άτοπο.
Θεωρούμε το σημείο του , τις ανοικτές σφαίρες και
το σύνολο .
Αν , τότε ,
άρα .
Συνεπώς (εύκολο) .
Άρα η απεικόνιση με είναι 1-1 και επί, συνεπώς το είναι υπεραριθμήσιμο, το οποίο είναι
άτοπο, γιατί οποιοδήποτε σύνολο ανοικτών και ξένων μεταξύ τους υποσυνόλων του είναι αριθμήσιμο.
Σπύρος Καπελλίδης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης