Ισχυρισμός

#1

Είναι αληθής ή όχι ο παρακάτω ισχυρισμός:

Αν $\displaystyle{a}$ είναι θετικός πραγματικός και $\displaystyle{n}$ ακέραιος $\displaystyle{\ge 2}$ , τότε δεν υπάρχουν συναρτήσεις $\displaystyle{f_i:\Bbb{R} \to \Bbb{R}, i=1,2,...,n}$ ,

ώστε να ισχύει η $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \left|f_i(x)-f_i(y)\right| >a}$ , για κάθε $\displaystyle{x,y \in \Bbb{R}}$ , με $\displaystyle{x \neq y}$ *

*Συμπλήρωσα το $\displaystyle{ x \neq y}$ , το οποίο από αβλεψία μου διέφυγε. Ευχαριστώ τον Δημήτρη που το επεσήμανε.

#2

Είναι αληθής:

Έστω συναρτήσεις $f_1,\ldots,f_n$ .

Αρκεί να βρω $x,y \in \mathbb{R}$ με $x \neq y$ και $\displaystyle{ |f_k(x) - f_k(y)| \leqslant a/n. }$ για κάθε $k \in \{1,2,\ldots,n\}$ .

Διαμερίζω το $\mathbb{R}$ ως εξής $\displaystyle{\mathbb{R} = \bigcup_{m \in \mathbb{Z}} A_m}$ όπου A_m = (ma/n,(m+1)a/n]

.

Ξεκινώ με $B_0 = \mathbb{R}$ .

Επειδή το B_0

είναι υπεραριθμήσιμα άπειρο, και επειδή το πλήθος των A_m

είναι αριθμήσιμο, υπάρχει m_1

και υπεραριθμήσιμο B_1

ώστε $x \in B_1 \Rightarrow f_1(x) \in A_{m_1}$ .

Επειδή το B_1

είναι υπεραριθμήσιμα άπειρο, και επειδή το πλήθος των A_m

είναι αριθμήσιμο, υπάρχει m_2

και υπεραριθμήσιμο $B_2 \subseteq B_1$ ώστε $x \in B_2 \Rightarrow f_2(x) \in A_{m_2}$ .

Προχωρώντας επαγωγικά βρίσκω $B_0 \supseteq B_1 \supseteq B_2 \supseteq \cdots \supsetew B_n$ και $m_1,\ldots,m_n$ ώστε $x\in B_k \Rightarrow f_k(x) \in A_{m_k}$ .

Τώρα παίρνω οποιαδήποτε δύο διαφορετικά στοιχεία x,y

του

και παρατηρώ ότι για κάθε $k \in \{1,2,\ldots,n\}$ έχουμε $x,y \in B_k$ , άρα $f_k(x),f_k(y) \in A_{m_k}$ και άρα όντως |f_k(x) - f_k(y)| < a/n

όπως θέλαμε να δείξουμε.

#3

Αλλιώς:

Με απαγωγή σε άτοπο.

Θεωρούμε το σημείο $\displaystyle{k_x=\left((f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)\right)}$ του $\displaystyle{\Bbb{R}^n}$ , τις ανοικτές σφαίρες $\displaystyle{S_x=\left(k_x,\frac {a}{2\sqrt{n}}\right)}$ και

το σύνολο $\displaystyle{\mathcal{U}=\{S_x,x \in \Bbb{R}\}}$ .

Αν $\displaystyle{x,y \in \Bbb{R}, x \neq y}$ , τότε $\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^n \left|f_i(x)-f_i(y)\right|^2\right)n \ge \left(\sum_{i=1}^n \left|f_i(x)-f_i(y)\right|\right)^2>a^2}$ ,

άρα $\displaystyle{\left(\sum_{i=1}^n\left|f_i(x)-f_i(y)\right|^2\right)^{\frac {1}{2}}>\frac {a}{\sqrt{n}}}$ .

Συνεπώς (εύκολο) $\displaystyle{S_x \cap S_y=\varnothing}$ .

Άρα η απεικόνιση $\displaystyle{G:\Bbb{R} \to \mathcal{U}}$ με $\displaystyle{G(x)=S_x}$ είναι 1-1 και επί, συνεπώς το $\displaystyle{\mathcal{U}}$ είναι υπεραριθμήσιμο, το οποίο είναι

άτοπο, γιατί οποιοδήποτε σύνολο ανοικτών και ξένων μεταξύ τους υποσυνόλων του $\displaystyle{ \Bbb{R}^n}$ είναι αριθμήσιμο.

Ισχυρισμός

Ισχυρισμός

Re: Ισχυρισμός

Re: Ισχυρισμός

Μέλη σε σύνδεση