Μη οδικά συνεκτικό σύνολο

Συντονιστής: Σεραφείμ

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Μη οδικά συνεκτικό σύνολο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Οκτ 09, 2016 10:35 am

Να αποδειχθεί ότι το σύνολο

A=\big\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; y\cos{x}+x\sin{y}=1\big\}

δεν είναι οδικά συνεκτικό (path-connected) σύνολο ως προς την επαγόμενη τοπολογία του A στο \mathbb{R}^2.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7882
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Μη οδικά συνεκτικό σύνολο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Κυρ Οκτ 09, 2016 5:39 pm

Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει x \in \mathbb{R} με (x,0) \in A. Πράγματι αυτό είναι άμεσο αφού αν y=0 τότε y\cos{x} + x\sin{y} = 0 \neq 1.

Από την άλλη παρατηρούμε ότι (0,1) \in A και (-\arccos{(1/\pi),-\pi})\in A. Αυτά τα δύο σημεία πρέπει να ανήκουν σε διαφορετικές συνιστώσες του A αφού οποιοδήποτε μονοπάτι από το ένα στο άλλο αναγκαστικά περνάει από κάποιο σημείο της μορφής (x,0).

Άρα το A δεν είναι οδικά συνεκτικό. Παρόμοια ουσιαστικά απόδειξη δείχνει ότι το A δεν είναι καν συνεκτικό.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Μη οδικά συνεκτικό σύνολο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Οκτ 09, 2016 5:58 pm

Δημήτρη,

πιο σύντομη -και απέριττη- λύση δεν νομίζω να υπάρχει. Ο ίδιος -λιγότερο προσεκτικός- διαπίστωσα ότι το θετικό τμήμα της y=\frac{\pi}{x} δεν έχει κοινά στοιχεία με το A , ενώ ταυτόχρονα είναι συνεχής και απειρίζεται ως προς τις διευθύνσεις των ημιαξόνων 0x και 0y, δηλαδή "κόβει τις συνεκτικές συνιστώσες του A σε δυο μέρη". Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η εξίσωση \frac{\pi}{x}\cos{x}+x\sin\frac{\pi}{x}=1 δεν έχει λύση για x>0. Στην πραγματικότητα, η συνάρτηση f(x)=\frac{\pi}{x}\cos{x}+x\sin\frac{\pi}{x}-1\,,\; x\in(0,+\infty)\,, είναι θετική στο (0,+\infty). Το τελευταίο δεν προκύπτει εύκολα και για αυτό τον λόγο ανάρτησα το θέμα.



(*) Επέλεξα να βάλω το θέμα σε αυτόν τον φάκελο, γιατί δεν απέκλεια μια λύση με χρήση μεθόδων διανυσματικού λογισμού ή (αλγεβρικής) τοπολογίας.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης