Σελίδα 1 από 1

Παραγωγος ολοκληρωματος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 18, 2019 4:50 pm
από Nikos127
Έστω f(x) = \int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt να βρεθεί η f'

Re: Παραγωγος ολοκληρωματος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 18, 2019 4:56 pm
από Tolaso J Kos
Nikos127 έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:50 pm
Έστω f(x) = \int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt να βρεθεί η f'
Εύκολο δεν είναι; Είναι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \int_{0}^{\infty} t^xe^{-t} \; \mathrm{d}t  \right )  \\  
 &= \int_{0}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x} t^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t\\  
 &=  \int_{0}^{\infty} t^x \ln t \; e^{-t} \, \mathrm{d}t 
\end{aligned}}
Ας σημειώσω ότι ουσιαστικά πρόκειται για τη παράγωγο της \Gamma συνάρτησης.

Re: Παραγωγος ολοκληρωματος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 18, 2019 7:28 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:56 pm
Nikos127 έγραψε:
Δευ Νοέμ 18, 2019 4:50 pm
Έστω f(x) = \int_0^{\infty}t^xe^{-t}dt να βρεθεί η f'
Εύκολο δεν είναι; Είναι:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} f(x) &= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( \int_{0}^{\infty} t^xe^{-t} \; \mathrm{d}t  \right )  \\  
 &= \int_{0}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x} t^{x} e^{-t} \, \mathrm{d}t\\  
 &=  \int_{0}^{\infty} t^x \ln t \; e^{-t} \, \mathrm{d}t 
\end{aligned}}
Ας σημειώσω ότι ουσιαστικά πρόκειται για τη παράγωγο της \Gamma συνάρτησης.
Εντάξει είναι άλλα θέλει δικαιολόγηση το ότι μπορούμε να αλλάξουμε την παράγωγο με το ολοκλήρωμα.