Άσκηση σύγκλισης σε μετρικό χώρο

mtsarduckas · #1

Να δειχθεί ότι μία ακολουθία $x_{n(n \in \mathbb N)}$ σε ένα μετρικό χώρο $(X,\rho)$ συγκλίνει στο $x \in X$ αν και μόνο αν κάθε υπακολουθία της έχει περαιτέρω υπακολουθία που συγκλίνει στο

. Καμια ιδέα για το αντίστροφο;; Ευχαριστώ πολύ!

Μιχάλης

#2

mtsarduckas έγραψε:Να δειχθεί ότι μία ακολουθία $x_{n(n \in \mathbb N)}$ σε ένα μετρικό χώρο $(X,\rho)$ συγκλίνει στο $x \in X$ αν και μόνο αν κάθε υπακολουθία της έχει περαιτέρω υπακολουθία που συγκλίνει στο . Καμια ιδέα για το αντίστροφο;; Ευχαριστώ πολύ!

Μιχάλης

Ας υποθέσουμε ότι κάθε υπακολουθία της $\{x_n\}$ έχει περαιτέρω υπακολουθία που συγκλίνει στο

,
αλλά η $\{x_n\}$ δε συγκλίνει στο

.

Τότε για κάποιο $\epsilon >0$ , υπάρχουν άπειροι $n \in \mathbb{N}$ τέτοιοι ώστε

$\rho(x_n,x)\geq \epsilon$ .

Συνεπώς, υπάρχει υπακολουθία $\{x'_n\}$ της $\{x_n\}$ τέτοια ώστε

$\rho(x'_n,x)\geq \epsilon$

για κάθε $n\in \mathbb{N}$ ,

άτοπο, αφού η $\{x'_n\}$ έχει υπακολουθία $\{x''_n\}$ που συγκλίνει στο

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

mtsarduckas · #3

Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σου φίλε μου!

Μιχάλης

Άσκηση σύγκλισης σε μετρικό χώρο

Άσκηση σύγκλισης σε μετρικό χώρο

Re: Άσκηση σύγκλισης σε μετρικό χώρο

Re: Άσκηση σύγκλισης σε μετρικό χώρο

Μέλη σε σύνδεση