Μετρικός χώρος απειροσυνόλου
Συντονιστής: Σεραφείμ
Μετρικός χώρος απειροσυνόλου
Αν είναι ένας μετρικός χώρος με , να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα ανοικτό υποσύνολο του , ώστε το και το να είναι συγχρόνως απειροσύνολα.
Σπύρος Καπελλίδης
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4454
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Μετρικός χώρος απειροσυνόλου
Καλημέρα σας
Θεωρούμε ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του χώρου ας το πουμε . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Περίπτωση 1α Κανένα στοιχείο του δεν είναι σημείο συσσωρεύσεως του. Τότε για κάθε υπάρχει (ανοικτή) σφαίρα που δεν περιέχει κανένα άλλο στοιχείο του εκτός από το . Τότε το σύνολο είναι ανοικτό που περιέχει άπειρα στοιχεία του και το συμπλήρωμα του περιέχει επίσης άπειρα στοιχεία του .
Περίπτωση 1β Κάποια στοιχεία του είναι και σημεία συσσωρεύσεως του. Τότε υπάρχει ένα υποσύνολο του ώστε η ακολουθία να συγκλίνει σε κάποιο . Kανένα στοιχείο του δεν είναι σημείο συσσωρεύσεως του και αναγόμαστε στην περίπτωαη 1.
Μαυρογιάννης
YΓ και αναγόμαστε στην περίπτωαη 1.
Υπάρχει ένα σχετικό ανέκδοτο:
'Εχετε απέναντι σας δύο άτομα ένα μαθηματικό και ένα μηχανικό. Πως θα ξεχωρίσετε ποιος είναι ο μηχανικός και ποιός ο μαθηματικός;
Απάντηση:
ΒΗΜΑ 1.
Αφήστε μία άδεια κατσαρόλα στο πάτωμα και ζητείστε από τον καθένα τους να βράσει νερό.
Ο Μηχανικός: Θα σηκώσει την κατσαρόλα, θα πάει στη βρύση, θα την ανοίξει , θα γεμίσει την κατσαρόλα με νερό, θα κλείσει την βρύση, θα πάει εστία, θα ακουμπήσει την κατσαρόλα, θα ανοίξει το κουμπί, θα περιμένει 8 λεπτά, θα κλείσει το κουμπί και έχει ζεστάνει το νερό.
Ο Μαθηματικός: Θα σηκώσει την κατσαρόλα, θα πάει στη βρύση, θα την ανοίξει , θα γεμίσει την κατσαρόλα με νερό, θα κλείσει την βρύση, θα πάει εστία, θα ακουμπήσει την κατσαρόλα, θα ανοίξει το κουμπί, θα περιμένει 8 λεπτά, θα κλείσει το κουμπί και έχει ζεστάνει το νερό.
ΒΗΜΑ 2.
Αφήστε μία άδεια κατσαρόλα πάνω στην σβηστή εστία και ζητείστε από τον καθένα τους να βράσει νερό.
Ο Μηχανικός: Θα σηκώσει την κατσαρόλα, θα πάει στη βρύση, θα την ανοίξει , θα γεμίσει την κατσαρόλα με νερό,θα κλείσει την βρύση, θα πάει εστία, θα ακουμπήσει την κατσαρόλα, θα ανοίξει το κουμπί, θα περιμένει 8 λεπτά, θα κλείσει το κουμπί και έχει ζεστάνει το νερό.
Ο Μαθηματικός: Θα σηκώσει την κατσαρόλα και απλώς θα την ακουμπήσει στο πάτωμα.
Το πρόβλημα θεωρείται λυμένο αφού ανάγεται σε πρόβλημα που έχει ήδη λυθεί.
Θεωρούμε ένα αριθμήσιμο υποσύνολο του χώρου ας το πουμε . Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Περίπτωση 1α Κανένα στοιχείο του δεν είναι σημείο συσσωρεύσεως του. Τότε για κάθε υπάρχει (ανοικτή) σφαίρα που δεν περιέχει κανένα άλλο στοιχείο του εκτός από το . Τότε το σύνολο είναι ανοικτό που περιέχει άπειρα στοιχεία του και το συμπλήρωμα του περιέχει επίσης άπειρα στοιχεία του .
Περίπτωση 1β Κάποια στοιχεία του είναι και σημεία συσσωρεύσεως του. Τότε υπάρχει ένα υποσύνολο του ώστε η ακολουθία να συγκλίνει σε κάποιο . Kανένα στοιχείο του δεν είναι σημείο συσσωρεύσεως του και αναγόμαστε στην περίπτωαη 1.
Μαυρογιάννης
YΓ και αναγόμαστε στην περίπτωαη 1.
Υπάρχει ένα σχετικό ανέκδοτο:
'Εχετε απέναντι σας δύο άτομα ένα μαθηματικό και ένα μηχανικό. Πως θα ξεχωρίσετε ποιος είναι ο μηχανικός και ποιός ο μαθηματικός;
Απάντηση:
ΒΗΜΑ 1.
Αφήστε μία άδεια κατσαρόλα στο πάτωμα και ζητείστε από τον καθένα τους να βράσει νερό.
Ο Μηχανικός: Θα σηκώσει την κατσαρόλα, θα πάει στη βρύση, θα την ανοίξει , θα γεμίσει την κατσαρόλα με νερό, θα κλείσει την βρύση, θα πάει εστία, θα ακουμπήσει την κατσαρόλα, θα ανοίξει το κουμπί, θα περιμένει 8 λεπτά, θα κλείσει το κουμπί και έχει ζεστάνει το νερό.
Ο Μαθηματικός: Θα σηκώσει την κατσαρόλα, θα πάει στη βρύση, θα την ανοίξει , θα γεμίσει την κατσαρόλα με νερό, θα κλείσει την βρύση, θα πάει εστία, θα ακουμπήσει την κατσαρόλα, θα ανοίξει το κουμπί, θα περιμένει 8 λεπτά, θα κλείσει το κουμπί και έχει ζεστάνει το νερό.
ΒΗΜΑ 2.
Αφήστε μία άδεια κατσαρόλα πάνω στην σβηστή εστία και ζητείστε από τον καθένα τους να βράσει νερό.
Ο Μηχανικός: Θα σηκώσει την κατσαρόλα, θα πάει στη βρύση, θα την ανοίξει , θα γεμίσει την κατσαρόλα με νερό,θα κλείσει την βρύση, θα πάει εστία, θα ακουμπήσει την κατσαρόλα, θα ανοίξει το κουμπί, θα περιμένει 8 λεπτά, θα κλείσει το κουμπί και έχει ζεστάνει το νερό.
Ο Μαθηματικός: Θα σηκώσει την κατσαρόλα και απλώς θα την ακουμπήσει στο πάτωμα.
Το πρόβλημα θεωρείται λυμένο αφού ανάγεται σε πρόβλημα που έχει ήδη λυθεί.
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
Re: Μετρικός χώρος απειροσυνόλου
Καλημέρα σε όλους σας και καλή βδομάδα.
Ιδιαίτερες ευχές σε σένα Νίκο, μαζί με τα ευχαριστώ μου για την ασχολία σου.
Η άσκηση που έλυσες είναι από την Τοπολογία του Νεγρεπόντη
Ας δούμε μια κάπως διαφορετική αντιμετώπιση
Υπάρχουν δύο περιπτώσεις
1. Το περιέχει άπειρο σύνολο μεμονωμένων σημείων, άρα θα περιέχει και ένα αριθμήσιμο σύνολο μεμονωμένων σημείων, το
Τότε το ζητούμενο προφανώς αληθεύει, γιατί το είναι ανοικτό και το συμπλήρωμα του είναι απειροσύνολο, γιατί
2. Το σύνολο των μεμονωμένων σημείων του είναι κενό ή πεπερασμένο.
Tότε έστω και .
Tο είναι ανοικτό και απειροσύνολο, γιατί το είναι σημείο συσσωρεύσεως.
Έστω και
Τότε γιατί αν , τότε
, άτοπο.
Συνεπώς και επιπλέον το είναι απειροσύνολο, γιατί το είναι σημείο συσσωρεύσεως, οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Ιδιαίτερες ευχές σε σένα Νίκο, μαζί με τα ευχαριστώ μου για την ασχολία σου.
Η άσκηση που έλυσες είναι από την Τοπολογία του Νεγρεπόντη
Ας δούμε μια κάπως διαφορετική αντιμετώπιση
Υπάρχουν δύο περιπτώσεις
1. Το περιέχει άπειρο σύνολο μεμονωμένων σημείων, άρα θα περιέχει και ένα αριθμήσιμο σύνολο μεμονωμένων σημείων, το
Τότε το ζητούμενο προφανώς αληθεύει, γιατί το είναι ανοικτό και το συμπλήρωμα του είναι απειροσύνολο, γιατί
2. Το σύνολο των μεμονωμένων σημείων του είναι κενό ή πεπερασμένο.
Tότε έστω και .
Tο είναι ανοικτό και απειροσύνολο, γιατί το είναι σημείο συσσωρεύσεως.
Έστω και
Τότε γιατί αν , τότε
, άτοπο.
Συνεπώς και επιπλέον το είναι απειροσύνολο, γιατί το είναι σημείο συσσωρεύσεως, οπότε το ζητούμενο αποδείχθηκε.
Σπύρος Καπελλίδης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης