Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

#121

Παναγιώτης 1729 έγραψε:Θα ήθελα να γράψω κάποιες σκέψεις που έκανα με τον κύριο Χρήστο Πατήλα σχετικά με την ύπαρξη των που να ικανοποιούν το Δ θέμα.

Συγχαρητήρια σε δάσκαλο και μαθητή για την παρατήρηση που διέφυγε της προσοχής όλων μας.
Δυστυχώς το 4ο θέμα δεν τα πήγε καλά με τις υποθέσεις αμαυρώνοντας έτσι την πολύ καλή εικόνα που είχαμε αρχικά για τα θέματα.
Έψαξα (τα όχι πολλά) βιβλία Μαθηματικής Στατιστικής που έχω αλλά και λίγο στο διαδίκτυο μήπως βρώ κάποια ανισότητα που να συνδέει μέση τιμή και τυπική απόκλιση και να "προβλέπει" ότι οι δεδομένες τιμές μέσης τιμής και τυπικής απόκλισης καθώς και το διάστημα που μεταβάλλονται οι τιμές της μεταβλητής είναι ασύμβατες αλλά δεν βρήκα κάτι. Παρακάτω γράφω μία ανισότητα στην οποία μπορούμε να καταλήξουμε αν ακολουθήσουμε τα βήματα του συλλογισμού που ανέπτυξαν ο Παναγιώτης Λώλας και ο Χρήστος Πατήλας. Τονίζω ότι η σκέψη δεν είναι δικη μου, ίσως μετά την ανάρτηση του Παναγιώτη και του Χρήστου να την έχουν κάνει και άλλοι. Την γράφω γιατί ενδέχεται να είναι χρήσιμη σαν άσκηση:

Με $\alpha \leq x\leq \beta$ είναι $\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right) \leq 0$ και επομένως $\allowbreak x^{2}-\left( \alpha +\beta \right) x+\alpha \beta \leq 0$ . Παίνοντας μέσες τιμές βρίσκουμε $\overline{x^{2}}-\left( \alpha +\beta \right) \bar{x}+\alpha \beta \leq 0$ οπότε από την $s^{2}=\overline{x^{2}}-\bar{x}^{2}$ καταλήγουμε στην $s^{2}\leq \left( \alpha +\beta \right) \bar{x}-\bar{x}^{2}-\alpha \beta$ .

Με $\alpha =5,\beta =9,\bar{x}=8,s=2$ είνα $\left( \alpha +\beta \right) \bar{x}-\bar{x}^{2}-\alpha \beta =3$ και ξαναβρίσκουμε το άτοπο.

Για άλλη μία φορά θέλω να εκφράσω τις ευχαριστίες μου σε όσους μετέχουν, διαλεγόμενοι, στο

. Μας κάνουν πλουσιότερους.

Μαυρογιάννης

hsiodos · #122

Ζωβοΐλης Ηλίας έγραψε:
Παναγιώτης 1729 έγραψε:Θα ήθελα να γράψω κάποιοες σκέψεις που έκανα με τον κύριο Χρήστο Πατήλα σχετικά με την ύπαρξη των που να ικανοποιούν το Δ θέμα. Μας προβλημάτισε το γεγονός κατά πόσο είναι δυνατό η μέση τιμή να είναι 8, η τυπική απόκλιση 2 και οι αριθμοί να περιορίζονται στο . Στην προσπάθεια αυτή κάναμε τα παρακάτω:

$\bar{x}=8\Leftrightarrow{\frac{5+9+x_2+...+x_{14}}{15}=8}\Leftrightarrow{x_2+...+x_{14}=106}$

Επίσης, ισχύει: $s^2=\frac{x_1^2+...+x_{15}^2}{15}-64\Leftrightarrow{x_2^2+...+x_{14}^2=914}$

Αφού $x_i\in{(5,9)}$ για i από 2 μέχρι 14, είναι $(5-x_i)(9-x_i)<0\Leftrightarrow{45-14x_i+x_i^2<0}$ . Εφαρμόζουμε αυτήν την ανισότητα για i από 2 μέχρι 14 και βγαίνει $45*13-14\sum{x_i}+\sum{x_i^2}<0\Leftrightarrow{585-14*106+914<0}\Leftrightarrow{15<0}$ , άτοπο (τα αθροίσματα είναι για απο 2 μέχρι 14).
Αν μπορεί κάποιος να το ελέγξει, μήπως υπάρχει κάποιο λάθος.
Αν στα δεδομένα είχαν ότι το δείγμα ήταν ομοιογενές, δεν θα είχαν πρόβλημα. Ένα δεν, τους χάλασε την άσκηση!

Δεν έχεις δίκιο. Ανεξάρτητα αν το συγκεκριμένο δείγμα είναι υπαρκτό , αποδεικνύεται (λύσεις επιτροπής mathematica) ότι είναι ανομοιογενές .

Γώργος

dimitris96 · #123

μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει πως γίνεται να βγαίνουν θεμιτά αποτελέσματα (ομοιογένεια κλπ) στηριγμένα πάνω σε στοίχεια που πρακτικά δεν υπάρχουν; εννοώ οι ίδιες οι μαθηματικές πράξεις δεν θα έπρεπε να καταλήγουν σε άτοπα συμπεράσματα;

Ευχαριστώ

pavlop · #124

cretanman έγραψε:
Τηλέγραφος Κώστας έγραψε:Προβληματική εκφώνηση στο Α4 το α)
Κώστα το ερώτημα το βλέπω μια χαρά! Είναι σχόλιο στο σχολικό βιβλίο (σελίδα 40, στο κάτω μέρος) διατυπωμένο αυτολεξεί. Μάλιστα συμφωνεί και με όσα υπάρχουν στην κατεύθυνση (αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ολόκληρο το $(\alpha,\beta)$ άρα είναι συνεχής στο οπότε δεν τίθεται θέμα).

Αλέξανδρος

Σύμφωνα με γνώμηφιλολόγωντο ερώτημα είναι άψογα διατυπωμένο.
Αν το "της" ήταν άρθρο της f΄ θα ήθελε τόνο. Επίσης οι δύο τόνοι της λέξης παράγωγος
δείχνει οτι η λέξη της είναι κτητικό και όχι άρθρο
Φ> Παυλόπουλος

KostasZK · #125

Σύμφωνα με γνώμηφιλολόγωντο ερώτημα είναι άψογα διατυπωμένο.
Αν το "της" ήταν άρθρο της f΄ θα ήθελε τόνο. Επίσης οι δύο τόνοι της λέξης παράγωγος
δείχνει οτι η λέξη της είναι κτητικό και όχι άρθρο
Φ> Παυλόπουλος

Περισπωμένη και όχι τόνο θα ήθελε!

Λάμπρος Μπαλός · #126

Αυτά είναι τα αίσχη του μονοτονικού.
Πάντως εδώ που τα λέμε το ζήτημα έχει αρχίσει να κουράζει.

Και επί τη ευκαιρία ας δώσω τα συγχαρητήριά μου στους κυρίους Πατήλα και Λώλα.

xrimak · #127

Φίλτατοι μια ερώτηση: Ένας αρκετά καλός μαθητής μου στο Β θέμα έκανε την πατάτα και μετρούσε εμβαδά (αν και γνώριζε ότι η βάση-το c είναι η μονάδα μέτρησης), με αποτέλεσμα να βρει 80 πωλητές. Έτσι συνέχισε όλο το θέμα ,αλλά με σωστό σκεπτικό στα υπόλοιπα ερωτήματα. Είναι το μοναδικό λάθος που έκανε σε όλο το διαγώνισμα. Τι κόβεται σε όλο ετουτο τώρα;

#128

KostasZK έγραψε:Σύμφωνα με γνώμηφιλολόγωντο ερώτημα είναι άψογα διατυπωμένο.
Αν το "της" ήταν άρθρο της f΄ θα ήθελε τόνο. Επίσης οι δύο τόνοι της λέξης παράγωγος
δείχνει οτι η λέξη της είναι κτητικό και όχι άρθρο
Φ> Παυλόπουλος

Περισπωμένη και όχι τόνο θα ήθελε!

Και η περισπωμένη τόνος είναι...

#129

nsmavrogiannis έγραψε:
Παναγιώτης 1729 έγραψε:Θα ήθελα να γράψω κάποιες σκέψεις που έκανα με τον κύριο Χρήστο Πατήλα σχετικά με την ύπαρξη των που να ικανοποιούν το Δ θέμα.
Συγχαρητήρια σε δάσκαλο και μαθητή για την παρατήρηση που διέφυγε της προσοχής όλων μας.
Δυστυχώς το 4ο θέμα δεν τα πήγε καλά με τις υποθέσεις αμαυρώνοντας έτσι την πολύ καλή εικόνα που είχαμε αρχικά για τα θέματα.
Έψαξα (τα όχι πολλά) βιβλία Μαθηματικής Στατιστικής που έχω αλλά και λίγο στο διαδίκτυο μήπως βρώ κάποια ανισότητα που να συνδέει μέση τιμή και τυπική απόκλιση και να "προβλέπει" ότι οι δεδομένες τιμές μέσης τιμής και τυπικής απόκλισης καθώς και το διάστημα που μεταβάλλονται οι τιμές της μεταβλητής είναι ασύμβατες αλλά δεν βρήκα κάτι. Παρακάτω γράφω μία ανισότητα στην οποία μπορούμε να καταλήξουμε αν ακολουθήσουμε τα βήματα του συλλογισμού που ανέπτυξαν ο Παναγιώτης Λώλας και ο Χρήστος Πατήλας. Τονίζω ότι η σκέψη δεν είναι δικη μου, ίσως μετά την ανάρτηση του Παναγιώτη και του Χρήστου να την έχουν κάνει και άλλοι. Την γράφω γιατί ενδέχεται να είναι χρήσιμη σαν άσκηση:

Με $\alpha \leq x\leq \beta$ είναι $\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right) \leq 0$ και επομένως $\allowbreak x^{2}-\left( \alpha +\beta \right) x+\alpha \beta \leq 0$ . Παίνοντας μέσες τιμές βρίσκουμε $\overline{x^{2}}-\left( \alpha +\beta \right) \bar{x}+\alpha \beta \leq 0$ οπότε από την $s^{2}=\overline{x^{2}}-\bar{x}^{2}$ καταλήγουμε στην $s^{2}\leq \left( \alpha +\beta \right) \bar{x}-\bar{x}^{2}-\alpha \beta$ .

Με $\alpha =5,\beta =9,\bar{x}=8,s=2$ είνα $\left( \alpha +\beta \right) \bar{x}-\bar{x}^{2}-\alpha \beta =3$ και ξαναβρίσκουμε το άτοπο.

Για κάτι σαν αντίστροφο δείτε εδώ.

Γιώργος Μπαλόγλου

#130

Παναγιώτης 1729 έγραψε:Θα ήθελα να γράψω κάποιοες σκέψεις που έκανα με τον κύριο Χρήστο Πατήλα σχετικά με την ύπαρξη των που να ικανοποιούν το Δ θέμα. Μας προβλημάτισε το γεγονός κατά πόσο είναι δυνατό η μέση τιμή να είναι 8, η τυπική απόκλιση 2 και οι αριθμοί να περιορίζονται στο . Στην προσπάθεια αυτή κάναμε τα παρακάτω:

$\bar{x}=8\Leftrightarrow{\frac{5+9+x_2+...+x_{14}}{15}=8}\Leftrightarrow{x_2+...+x_{14}=106}$

Επίσης, ισχύει: $s^2=\frac{x_1^2+...+x_{15}^2}{15}-64\Leftrightarrow{x_2^2+...+x_{14}^2=914}$

Αφού $x_i\in{(5,9)}$ για i από 2 μέχρι 14, είναι $(5-x_i)(9-x_i)<0\Leftrightarrow{45-14x_i+x_i^2<0}$ . Εφαρμόζουμε αυτήν την ανισότητα για i από 2 μέχρι 14 και βγαίνει $45*13-14\sum{x_i}+\sum{x_i^2}<0\Leftrightarrow{585-14*106+914<0}\Leftrightarrow{15<0}$ , άτοπο (τα αθροίσματα είναι για απο 2 μέχρι 14).
Αν μπορεί κάποιος να το ελέγξει, μήπως υπάρχει κάποιο λάθος.

Είχα την χαρά και την ευκαιρία ο κύριος Πατήλας να είναι δάσκαλος μου στην Γ λυκείου. Έμαθα λοιπόν τότε ότι όταν φτιάχνουμε μια άσκηση το πρώτο που κοιτάζουμε
είναι αν οι υποθέσεις είναι ικανοποιούν τις συνθήκες. Αυτό είναι σαφές και από τα βιβλία που έχει γράψει, όπου υπάρχουν σημειώσεις, παραδείγματος χάρη για το ότι η τάδε συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες. Ο έλεγχος των υποθέσεων είναι μεγάλη υπόθεση.
Τέλος να πω το εξής: Αν κάποιος σου πει "δείξε ότι δεν υπάρχουν αριθμοί" είναι ρουτίνα να το κάνει κανείς. Το θέμα είναι η διαίσθηση για να παραξενευτεί κανείς από τις υποθέσεις και να τις ελέγξει.
Πιστεύω είναι σημαντικό να αποφασιστεί αν το θέμα θα ληφθεί υπόψη βαθμολογικά.

#131

dimitris96 έγραψε:μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει πως γίνεται να βγαίνουν θεμιτά αποτελέσματα (ομοιογένεια κλπ) στηριγμένα πάνω σε στοίχεια που πρακτικά δεν υπάρχουν; εννοώ οι ίδιες οι μαθηματικές πράξεις δεν θα έπρεπε να καταλήγουν σε άτοπα συμπεράσματα;

Ευχαριστώ

Με βάση την μαθηματική λογική (η οποία δεν διδάσκεται πλέον στο σχολείο), είναι ΑΛΗΘΕΣ το εξής: ΨΕΥΔΕΣ $\displaystyle{\Rightarrow}$ ΑΛΗΘΕΣ

S.E.Louridas · #132

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:
dimitris96 έγραψε:μπορεί κάποιος να μου εξηγήσει πως γίνεται να βγαίνουν θεμιτά αποτελέσματα (ομοιογένεια κλπ) στηριγμένα πάνω σε στοίχεια που πρακτικά δεν υπάρχουν; εννοώ οι ίδιες οι μαθηματικές πράξεις δεν θα έπρεπε να καταλήγουν σε άτοπα συμπεράσματα;
Ευχαριστώ
Με βάση την μαθηματική λογική (η οποία δεν διδάσκεται πλέον στο σχολείο), είναι ΑΛΗΘΕΣ το εξής: ΨΕΥΔΕΣ $\displaystyle{\Rightarrow}$ ΑΛΗΘΕΣ

Έχουμε για παράδειγμα: $- 1 = 1 \Rightarrow {\left( { - 1} \right)^2} = {1^2} \Rightarrow 1 = 1,$ επίσης έχουμε: $- 1 = 1 \Rightarrow {\left( { - 1} \right)^3} = {1^3} \Rightarrow - 1 = 1.$
Σημασία έχει να κατανοήσουμε ότι στην περίπτωση που η πρόταση

είναι Ψευδής, τότε η πρόταση $p\Rightarrow q$ είναι Αληθής ανεξαρτήτως από την τιμή αλήθειας της πρότασης

(Δηλαδή έχουμε την τιμή Αληθής για το "πακέτο" ας πούμε $p\Rightarrow q$ ).

dimitris96 · #133

ομολογώ ότι με το παράδειγμα κατάλαβα πλήρως γιατί συμβαίνει αυτό. ευχαριστώ για την βοήθεια

KostasZK · #134

>Περισπωμένη και όχι τόνο θα ήθελε!

>Και η περισπωμένη τόνος είναι...

Αλλού "χτυπούσα".
"... Αν το "της" ήταν άρθρο της

θα ήθελε τόνο."
Τι τόνος θα έμπαινε; Μιλάω για το 2014.

Σαν το Δ3 έχει ξαναγίνει το 2006 στο 1ο θέμα ΤΕΕ.
Όποιος δεν έπαιρνε το κανονικό μονοπάτι έμπλεκε με κάτι δεκαδικά που ζάλιζαν.

abgd · #135

Πολλές φορές και στο παρελθόν έχουν δοθεί, στις πανελλήνιες, θέματα με ψευδή υπόθεση.
Για τη συγκεκριμένη υπόθεση, να έχεις μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση 2 σ' ένα δείγμα που οι παρατηρήσεις του αυξάνουν γνησίως από το 5 έως το 9, είναι εύκολο να σκεφτείς ότι δύσκολο να στέκει.
Το παράξενο φαίνεται να είναι ότι για αρκετό χρονικό διάστημα, μέχρι να έρθει το μήνυμα του Παναγιώτη, κανείς μας δεν σκέφτηκε να ελέγξει αυτή την υπόθεση. Αυτό μάλλον είναι λογικό, αφού αυτό που εξετάζουμε σ' ένα θέμα μαθηματικών δεν είναι η αλήθεια μιας υπόθεσης αλλά ο συλλογισμός, που μας οδηγεί από μια υποθετική πρόταση, αληθή ή ψευδή, σε κάποιο συμπέρασμα. Πολλές φορές, στα μαθηματικά και όχι μόνο, σκεφτόμαστε και δίνουμε λύσεις με ψευδή υπόθεση. Θα μπορούσε βέβαια ένας μαθητής, στο συγκεκριμένο πρόβλημα, να βρει και να αποδείξει ότι ήθελε η άσκηση αποδεικνύοντας απλώς την λάθος υπόθεση. Δεν φαντάζομαι να έγινε αλλά δεν θα ήταν εκπληκτικό!
Συνεπώς

διαφωνώ με τη σκέψη να μην βαθμολογηθεί το συγκεκριμένο θέμα, κάτι το οποίο αναφέρθηκε παραπάνω, και
δεν θεωρώ τόσο σημαντικό - σημαντικό για το σκοπό που συντάχθηκε - το λάθος (;) της επιτροπής.

S.E.Louridas · #136

Υπάρχει λοιπόν πρόβλημα όταν δίνονται θέματα προς εξέταση με ψευδή υπόθεση έστω

και ζητείται η τιμή Αληθής για την πρόταση $p \Rightarrow q;$
Ναι κατά την άποψη μου υπάρχει στο εξής σημείο: Αν κάποιος λύτης τεκμηριώσει ότι η υπόθεση

είναι ψευδής τότε παίρνει άριστα και ας μην ασχοληθεί καθόλου με την πορεία προς το

. Συνεπώς καλό θα είναι οι εισηγητές τέτοιων προβλημάτων να τα αποφεύγουν ή να αναφέρονται σε υποθέσεις που στην χειρότερη περίπτωση να μη μπορούν να τεκμηριωθούν ως ψευδείς, οπότε έτσι δίνεται έμφαση στην διαδικασία – πορεία από την υπόθεση προς το συμπέρασμα.
Βέβαια υπάρχει και η περίπτωση της διπλής στόχευσης, αρκεί τόσο η διαδικασία της απόδειξης ότι η υπόθεση είναι ψευδής, όσο και η διαδικασία επίλυσης με βάση την πορεία από την υπόθεση έως το συμπέρασμα να είναι της ίδιας "βαθμολογικής αξίας".

#137

abgd έγραψε:Πολλές φορές και στο παρελθόν έχουν δοθεί, στις πανελλήνιες, θέματα με ψευδή υπόθεση.
Για τη συγκεκριμένη υπόθεση, να έχεις μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση 2 σ' ένα δείγμα που οι παρατηρήσεις του αυξάνουν γνησίως από το 5 έως το 9, είναι εύκολο να σκεφτείς ότι δύσκολο να στέκει.

ΠΟΣΟ δύσκολο να στέκει; Όχι και τόσο δύσκολο, αφού αν πχ έχουμε πέντε (5) τιμές γύρω στο 5,171

και δέκα (10) τιμές γύρω στο 9,414

... καταλήγουμε στα ζητούμενα (μέση τιμή

και τυπική απόκλιση

).

Συνεπώς
διαφωνώ με τη σκέψη να μην βαθμολογηθεί το συγκεκριμένο θέμα, κάτι το οποίο αναφέρθηκε παραπάνω, και
δεν θεωρώ τόσο σημαντικό - σημαντικό για το σκοπό που συντάχθηκε - το λάθος (;) της επιτροπής.

Συμφωνώ μαζί σου, abgd ... και πιθανολογώ ότι δεν θα υπάρξει ούτε ένα γραπτό με ενδείξεις απόπειρας εύρεσης του λάθους (και συνεπαγόμενης άδικης καθυστέρησης του διαγωνιζόμενου). Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι δεν πρέπει να τραβηχτούν λίγο τα αυτιά της επιτροπής ... ειδικά ύστερα από την περυσινή γκάφα ... το δις εξαμαρτείν ουκ ανδρός σοφού...

Γιώργος Μπαλόγλου

#138

διαγραφή

STOPJOHN · #139

Kαλημέρα σε όλους
Αναμένοντας τα θέματα των Μαθηματικών κατευθυνσης ....να πω μια εκδοχή των θεμάτων με ψευδή υπόθεση και αληθές συμπέρασμα :
Στα θέματα της Α Δέσμης είχε δοθεί συναρτησιακή σχέση ,χωρίς να υπάρχει συνάρτηση .....στη βαθμολογηση των γραπτών οι μαθητες κάνανε ΣΩΣΤΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ και βρίσκανε ΔΙΑΦΟΙΡΕΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ .....ΑΡΑ... ΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΔΙΚΑ ΣΑΣ ΣΤΑΜΑΤΑΩ ΕΔΩ γιατί μου φαίνεται ότι δεν είναι η κατάλληλη χρονική στιγμή για τέτοιου είδους συζητήσεις .... θα επανέλθω
Καλή δύναμη σε όλους
Γιάννης

abgd · #140

STOPJOHN έγραψε:Kαλημέρα σε όλους
Αναμένοντας τα θέματα των Μαθηματικών κατευθυνσης ....να πω μια εκδοχή των θεμάτων με ψευδή υπόθεση και αληθές συμπέρασμα :
Στα θέματα της Α Δέσμης είχε δοθεί συναρτησιακή σχέση ,χωρίς να υπάρχει συνάρτηση .....στη βαθμολογηση των γραπτών οι μαθητες κάνανε ΣΩΣΤΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ και βρίσκανε ΔΙΑΦΟΙΡΕΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ .....ΑΡΑ... ΤΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΔΙΚΑ ΣΑΣ ΣΤΑΜΑΤΑΩ ΕΔΩ γιατί μου φαίνεται ότι δεν είναι η κατάλληλη χρονική στιγμή για τέτοιου είδους συζητήσεις .... θα επανέλθω
Καλή δύναμη σε όλους
Γιάννης

Θα ήθελα να κάνουμε αυτή τη συζήτηση.
Όσο για το ακατάλληλο του χρόνου δεν θα συμφωνήσω: οι πανελλήνιες εξετάσεις είναι μια πυξίδα για τα μαθηματικά που διδάσκουμε στο Λύκειο και οι συζητήσεις που γίνονται, με αφορμή τα θέματα, μας κάνουν κατά τι σοφότερους.

Το θέμα με τη συναρτησιακή το γνωρίζω. Αν τώρα κάποιος μαθητής έφτανε σε διαφορετικό αποτέλεσμα και το οποίο ερχόταν σε αντίθεση με το ζητούμενο τότε, ο μαθητής αυτός, είχε κάνει ήδη την απόδειξη της πρότασης και θα μπορούσε να το δικαιολογήσει ως εξής:
Θέλω να αποδείξω ότι $p\Rightarrow q_1$ αληθής. Έχω αποδείξει ότι $p\Rightarrow q_2$ αληθής και οι q_1

,

είναι αντίθετες.
Θα πρέπει συνεπώς η πρόταση

να είναι ψευδής οπότε η συνεπαγωγή $p\Rightarrow q_1$ είναι αληθής.

Αν μου πείτε: μα είναι δυνατόν να απαιτήσουμε από έναν μαθητή της Γ΄ Λυκείου γνώσεις λογικής;
-Γιατί όχι; Ένας μαθητής της Γ΄Λυκείου δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζει μερικά βασικά στοιχεία μαθηματικής λογικής;

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

τι κοβουμε;

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Re: Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2014

Μέλη σε σύνδεση